Kenneth Cheng數學・模型・思考
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學習・解釋・訂正

配對數據、回歸直線與有據預測

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高三選擇性必修 第三册(A版).pdf · 8.2 · PDF 110 / 印刷頁 105

專題 01

配對數據、回歸直線與有據預測

由配對中心化數據求最小二乘直線，解釋殘差及單位。

學完之後，你能解釋

  • 由配對中心化數據求最小二乘直線，解釋殘差及單位。
  • 區分線性關聯、非線性相依、外推及因果聲稱。

配適配對而非分離列表

預測摘要關係，但不要求每個觀察值位於直線上。

最小二乘選取垂直殘差平方和最小的直線，配適截距時通過中心點。

b=Sxy/Sxx; a=yˉ−bxˉ; e=y−y^b=S_{xy}/S_{xx};\ a=\bar y-b\bar x;\ e=y-\hat y

  1. 最小二乘選取垂直殘差平方和最小的直線，配適截距時通過中心點。

    ∂SSE/∂a=−2∑i(yi−a−bxi)=0\partial SSE/\partial a=-2\sum_i(y_i-a-bx_i)=0

  2. 最小二乘選取垂直殘差平方和最小的直線，配適截距時通過中心點。

    ∂SSE/∂b=0  ⟹  b=Sxy/Sxx\partial SSE/\partial b=0\implies b=S_{xy}/S_{xx}

成立條件

  • 唯一斜率要求 Sxx>0，相關另須 Syy>0。
  • 超出觀察範圍的預測及因果解釋須額外理據。

反例：對稱的 y=x² 點可有 r=0，儘管存在確定的非線性關係。

  • 配對表、散點圖、殘差線段、中心點及平方誤差計算。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：預測改變最後一個配對反應及整體平移，如何影響斜率、截距及殘差。

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

回歸式 ŷ=0+2x；整體反應平移只改截距，改最後一組配對亦會改斜率。0-101.5-1.5374.515.5624xPairs 點 藍/blue; fit 線 綠/green; residuals 殘差 紅/redCentroid 中心點 橙/orange

回歸式 ŷ=0+2x；整體反應平移只改截距，改最後一組配對亦會改斜率。

圖像的數值資料，可列印
自變量觀察預測殘差
1220
2440
3660
4880
510100

解釋：讀取散點、回歸線及可列印的觀察／預測／殘差表。

遷移：解釋整體反應平移為何只改截距而不改殘差及斜率。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

例題 1–3：先讀完整示範；由已完成的首步接續推理；再獨立選方法，完成後才展開解答。其餘練習可於課後繼續。

01 / 基礎#示範例題

配對 (1,1)、(2,3)、(3,2)，求最小二乘斜率。

(x,y)=(1,1),(2,3),(3,2)(x,y)=(1,1),(2,3),(3,2)
  • 保留觀察配對；唯一斜率須 Sxx>0，相關另須 Syy>0，因果聲稱須合適設計。
考點與先備課節

範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。

計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
保持配對，把兩個坐標中心化。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
xˉ=yˉ=2; Sxx=2; Sxy=1\bar x=\bar y=2;\ S_{xx}=2;\ S_{xy}=1
完整解答
  1. 保持配對，把兩個坐標中心化。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    xˉ=yˉ=2; Sxx=2; Sxy=1\bar x=\bar y=2;\ S_{xx}=2;\ S_{xy}=1
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    b=Sxy/Sxx=1/2b=S_{xy}/S_{xx}=1/2
  4. 任選端點連線的斜率不必等於回歸斜率。
所求值為 0.5。
檢查與易錯點：任選端點連線的斜率不必等於回歸斜率。
先思考，待同學準備好再展開提示。
02 / 鞏固#示範例題
回歸式 ŷ=1+2x，觀察點 (3,8)，求殘差。
y^=1+2x; (x,y)=(3,8)\hat y=1+2x;\ (x,y)=(3,8)
已提供首步，請接續推理：觀察值減預測值。
  • 保留觀察配對；唯一斜率須 Sxx>0，相關另須 Syy>0，因果聲稱須合適設計。
考點與先備課節
範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
觀察值減預測值。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
y^(3)=7\hat y(3)=7
完整解答
  1. 觀察值減預測值。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    y^(3)=7\hat y(3)=7
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    e=8−7=1e=8-7=1
  4. 相減次序反轉會改變殘差正負號。
所求值為 1。
檢查與易錯點：相減次序反轉會改變殘差正負號。
先思考，待同學準備好再展開提示。
03 / 遷移#示範例題
x 以小時計時的回歸斜率為 2。改用分鐘 x′=60x 後求新斜率，說明哪些預測保持不變。
y^=a+2x; x′=60x\hat y=a+2x;\ x\prime=60x
  • 保留觀察配對；唯一斜率須 Sxx>0，相關另須 Syy>0，因果聲稱須合適設計。
考點與先備課節
範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
把新坐標代入同一回歸關係。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
x=x′/60x=x\prime/60
完整解答
  1. 把新坐標代入同一回歸關係。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    x=x′/60x=x\prime/60
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    y^=a+(1/30)x′\hat y=a+(1/30)x\prime
  4. 斜率數值隨自變量單位改變，配對預測則保持相同。
所求值為 0.03333333333333333。
檢查與易錯點：斜率數值隨自變量單位改變，配對預測則保持相同。
先思考，待同學準備好再展開提示。
04 / 基礎#獨立練習
回歸斜率 3，樣本平均 x̄=2、ȳ=8，求截距。
b=3; xˉ=2; yˉ=8b=3;\ \bar x=2;\ \bar y=8
  • 保留觀察配對；唯一斜率須 Sxx>0，相關另須 Syy>0，因果聲稱須合適設計。
考點與先備課節
範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
有截距的最小二乘直線經過中心點。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
a=yˉ−bxˉa=\bar y-b\bar x
完整解答
  1. 有截距的最小二乘直線經過中心點。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    a=yˉ−bxˉa=\bar y-b\bar x
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    a=8−3(2)=2a=8-3(2)=2
  4. 通過中心點不代表通過每個觀察值。
所求值為 2。
檢查與易錯點：通過中心點不代表通過每個觀察值。
先思考，待同學準備好再展開提示。
05 / 基礎#獨立練習
ŷ=2+3x，預測 x=4 的 y。
y^=2+3x; x=4\hat y=2+3x;\ x=4
  • 保留觀察配對；唯一斜率須 Sxx>0，相關另須 Syy>0，因果聲稱須合適設計。
考點與先備課節
範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
使用回歸方程，區分預測及觀察。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
y^(4)=2+3(4)\hat y(4)=2+3(4)
完整解答
  1. 使用回歸方程，區分預測及觀察。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    y^(4)=2+3(4)\hat y(4)=2+3(4)
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    y^(4)=14\hat y(4)=14
  4. 這是模型預測，不是保證精確的觀察值。
所求值為 14。
檢查與易錯點：這是模型預測，不是保證精確的觀察值。
先思考，待同學準備好再展開提示。
06 / 基礎#獨立練習
所有觀察 x 值均為 2，Sxy/Sxx 可確定唯一斜率嗎？
xi=2 for all ix_i=2\text{ for all }i
  • 保留觀察配對；唯一斜率須 Sxx>0，相關另須 Syy>0，因果聲稱須合適設計。
考點與先備課節
範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
相除前先檢查自變量是否有變異。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
Sxx=∑i(xi−2)2=0S_{xx}=\sum_i(x_i-2)^2=0
完整解答
  1. 相除前先檢查自變量是否有變異。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    Sxx=∑i(xi−2)2=0S_{xx}=\sum_i(x_i-2)^2=0
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    a+2b=yˉa+2b=\bar y
  4. 平均反應可配適，但斜率無法識別。
不可以；Sxx=0，無限多組截距及斜率在數據上給出同一常數。
檢查與易錯點：平均反應可配適，但斜率無法識別。
推理清單・自評／教師評核
  • 相除前先檢查自變量是否有變異。
  • 列出中間關係，連同限制解釋結論。
  • 平均反應可配適，但斜率無法識別。
先思考，待同學準備好再展開提示。
07 / 基礎#獨立練習
調查把補習時間與考試分數連結，回歸是否證明補習造成分數改變？
observational survey\text{observational survey}
  • 保留觀察配對；唯一斜率須 Sxx>0，相關另須 Syy>0，因果聲稱須合適設計。
考點與先備課節
範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
區分觀察配適及因果設計。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
association⇏causation\text{association}\not\Rightarrow\text{causation}
完整解答
  1. 區分觀察配適及因果設計。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    association⇏causation\text{association}\not\Rightarrow\text{causation}
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    selection and confounding require investigation\text{selection and confounding require investigation}
  4. 精確斜率不能修補無法識別因果的研究設計。
不是；原有程度及自選因素可能混雜關係。
檢查與易錯點：精確斜率不能修補無法識別因果的研究設計。
推理清單・自評／教師評核
  • 區分觀察配適及因果設計。
  • 列出中間關係，連同限制解釋結論。
  • 精確斜率不能修補無法識別因果的研究設計。
先思考，待同學準備好再展開提示。
08 / 鞏固#獨立練習
Sxx=4、Syy=9、Sxy=3，求皮爾遜 r。
Sxx=4; Syy=9; Sxy=3S_{xx}=4;\ S_{yy}=9;\ S_{xy}=3
  • 保留觀察配對；唯一斜率須 Sxx>0，相關另須 Syy>0，因果聲稱須合適設計。
考點與先備課節
範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
用兩個坐標尺度標準化交叉變異。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
r=Sxy/SxxSyyr=S_{xy}/\sqrt{S_{xx}S_{yy}}
完整解答
  1. 用兩個坐標尺度標準化交叉變異。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    r=Sxy/SxxSyyr=S_{xy}/\sqrt{S_{xx}S_{yy}}
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    r=3/6=1/2r=3/6=1/2
  4. 回歸斜率 3/4 不是相關係數。
所求值為 0.5。
檢查與易錯點：回歸斜率 3/4 不是相關係數。
先思考，待同學準備好再展開提示。
09 / 鞏固#獨立練習
對 (−1,1)、(0,0)、(1,1)，證明相關為零但存在非線性關係。
y=x2; x=−1,0,1y=x^2;\ x=-1,0,1
  • 保留觀察配對；唯一斜率須 Sxx>0，相關另須 Syy>0，因果聲稱須合適設計。
考點與先備課節
範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
計算中心化交叉積，不要把散點當成隨機。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
xˉ=0; yˉ=2/3; Sxy=−1/3+1/3=0\bar x=0;\ \bar y=2/3;\ S_{xy}=-1/3+1/3=0
完整解答
  1. 計算中心化交叉積，不要把散點當成隨機。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    xˉ=0; yˉ=2/3; Sxy=−1/3+1/3=0\bar x=0;\ \bar y=2/3;\ S_{xy}=-1/3+1/3=0
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    Sxx=2; Syy=2/3; r=0S_{xx}=2;\ S_{yy}=2/3;\ r=0
  4. 皮爾遜相關為零不代表完全無相依關係。
r=0；三點遵循 U 形二次關係。
檢查與易錯點：皮爾遜相關為零不代表完全無相依關係。
推理清單・自評／教師評核
  • 計算中心化交叉積，不要把散點當成隨機。
  • 列出中間關係，連同限制解釋結論。
  • 皮爾遜相關為零不代表完全無相依關係。
先思考，待同學準備好再展開提示。
10 / 鞏固#獨立練習
配對 (0,1)、(1,3)、(2,2)，證明有截距回歸的殘差和為零。
(x,y)=(0,1),(1,3),(2,2)(x,y)=(0,1),(1,3),(2,2)
  • 保留觀察配對；唯一斜率須 Sxx>0，相關另須 Syy>0，因果聲稱須合適設計。
考點與先備課節
範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
使用回歸的中心點關係。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
∑ei=∑yi−na−b∑xi\sum e_i=\sum y_i-na-b\sum x_i
完整解答
  1. 使用回歸的中心點關係。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    ∑ei=∑yi−na−b∑xi\sum e_i=\sum y_i-na-b\sum x_i
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    a=yˉ−bxˉ  ⟹  ∑ei=0a=\bar y-b\bar x\implies\sum e_i=0
  4. 殘差和為零的性質要求模型配適截距。
ŷ=1.5+0.5x；殘差 −0.5、1、−0.5 的和為零。
檢查與易錯點：殘差和為零的性質要求模型配適截距。
推理清單・自評／教師評核
  • 使用回歸的中心點關係。
  • 列出中間關係，連同限制解釋結論。
  • 殘差和為零的性質要求模型配適截距。
先思考，待同學準備好再展開提示。
11 / 鞏固#獨立練習
觀察 x 範圍為 1 至 5，只因直線配適貼近，x=100 的預測就可靠嗎？
1≤xobserved≤5; xnew=1001\le x_{observed}\le5;\ x_{new}=100
  • 保留觀察配對；唯一斜率須 Sxx>0，相關另須 Syy>0，因果聲稱須合適設計。
考點與先備課節
範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
比較預測自變量及觀察範圍。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
100∉[1,5]100\notin[1,5]
完整解答
  1. 比較預測自變量及觀察範圍。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    100∉[1,5]100\notin[1,5]
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    in-range fit does not validate out-of-range form\text{in-range fit does not validate out-of-range form}
  4. 關係可能在量度範圍以外改變。
不可靠；這是遠距外推，須另有實質理據。
檢查與易錯點：關係可能在量度範圍以外改變。
推理清單・自評／教師評核
  • 比較預測自變量及觀察範圍。
  • 列出中間關係，連同限制解釋結論。
  • 關係可能在量度範圍以外改變。
先思考，待同學準備好再展開提示。
12 / 遷移#獨立練習
比較 (1,1)、(2,2)、(3,3) 與 y 值重新配對後 (1,3)、(2,2)、(3,1) 的斜率，解釋為何配對重要。
x=(1,2,3); yA=(1,2,3); yB=(3,2,1)x=(1,2,3);\ y_A=(1,2,3);\ y_B=(3,2,1)
  • 保留觀察配對；唯一斜率須 Sxx>0，相關另須 Syy>0，因果聲稱須合適設計。
考點與先備課節
範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
計算交叉積時保留每行配對。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
Sxx=2; Sxy,A=2; Sxy,B=−2S_{xx}=2;\ S_{xy,A}=2;\ S_{xy,B}=-2
完整解答
  1. 計算交叉積時保留每行配對。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    Sxx=2; Sxy,A=2; Sxy,B=−2S_{xx}=2;\ S_{xy,A}=2;\ S_{xy,B}=-2
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    bA=1; bB=−1b_A=1;\ b_B=-1
  4. 各欄分開排序會破壞原有關聯。
斜率為 1 及 −1；相同邊際列表不能決定配對關係。
檢查與易錯點：各欄分開排序會破壞原有關聯。
推理清單・自評／教師評核
  • 計算交叉積時保留每行配對。
  • 列出中間關係，連同限制解釋結論。
  • 各欄分開排序會破壞原有關聯。
先思考，待同學準備好再展開提示。
13 / 遷移#獨立練習
x=0 的 y 值為 0、0、3，比較常數預測 c=1 及 c=0，哪個較小平方誤差，哪個較小絕對誤差？
y=(0,0,3); y^=cy=(0,0,3);\ \hat y=c
  • 保留觀察配對；唯一斜率須 Sxx>0，相關另須 Syy>0，因果聲稱須合適設計。
考點與先備課節
範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
選取摘要前先指定損失函數。
提示 2
先從這個中間關係式入手。
SSE(1)=6<SSE(0)=9SSE(1)=6<SSE(0)=9
完整解答
  1. 選取摘要前先指定損失函數。
  2. 建立並化簡此數學關係式。
    SSE(1)=6<SSE(0)=9SSE(1)=6<SSE(0)=9
  3. 建立並化簡此數學關係式。
    SAE(0)=3<SAE(1)=4SAE(0)=3<SAE(1)=4
  4. 最小二乘針對平均值；絕對誤差配適針對中位數。
c=1 最小化平方誤差；c=0 最小化絕對誤差。
檢查與易錯點：最小二乘針對平均值；絕對誤差配適針對中位數。
推理清單・自評／教師評核
  • 選取摘要前先指定損失函數。
  • 列出中間關係，連同限制解釋結論。
  • 最小二乘針對平均值；絕對誤差配適針對中位數。
先思考，待同學準備好再展開提示。
專注一道題目
課末檢核與訂正
回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。
啟用 JavaScript 後顯示本機作答摘要。
    選擇需要重溫的補底知識 ↗
    教師備課與評核
    40 分鐘教案
    分鐘環節教師及學生任務
    5預測預測最後一個 y 值升高如何改變回歸斜率。
    8建立概念示例回答：保留配對，用中心化 Sxy/Sxx；不要各欄分開排序。
    10引導比較示例回答：觀察 8 減預測 7，殘差為 1。
    12獨立練習與討論討論單位改變、配對反轉及平方／絕對損失的選擇。
    5課末檢核與下一步課末：回歸直線不是因果證據，外推至 x=100 須另有理據。
    提問順序
    • 預測最後一個 y 值升高如何改變回歸斜率。
    • 示例回答：觀察 8 減預測 7，殘差為 1。
    板書發展
    • 配適配對而非分離列表
      b=Sxy/Sxx; a=yˉ−bxˉ; e=y−y^b=S_{xy}/S_{xx};\ a=\bar y-b\bar x;\ e=y-\hat y
    預期正誤回答
    • 正確示例：2
    • 預期錯答：−2；預測值減觀察值，倒轉殘差次序。
    • 預期錯答：可以，變量必定獨立。；把零線性相關解釋為獨立。
    • 把殘差相減次序反轉。
    • 把相關當成獨立或因果的判別。
    追問
    • 追問：觀察值減預測值。 再解釋 −2 為何不成立。
    • 追問：考慮對稱二次散點。 再解釋 可以，變量必定獨立。 為何不成立。
    • 解釋整體反應平移為何只改截距而不改殘差及斜率。
    補救
    • 示例回答：保留配對，用中心化 Sxy/Sxx；不要各欄分開排序。
    • 返回首個例題，找出遺漏條件，再不看解答完成一道新題。
    離堂檢核
    • 課末：回歸直線不是因果證據，外推至 x=100 須另有理據。
    評核清單與作答示例
    • 表示法及條件
      保留每組配對，相除前檢查 Sxx=2>0。
    • 連貫數學推理
      對 (1,1)、(2,3)、(3,2)，Sxy=1、Sxx=2，故斜率為 1/2。
    • 解釋及邊界檢查
      對稱 y=x² 散點可有 r=0，所以零相關不表示獨立。
    免登入，紀錄保存在此瀏覽器；清除資料前請先匯出。書面推理按清單自評或由教師評核。
    教材與來源說明 ↗