Kenneth Cheng數學建模
← 高中數學研習室

學習・解釋・訂正

成對數據的統計相關性

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高三選擇性必修 第三册(A版).pdf · 8.1 · PDF 98 / 印刷頁 93

專題 01

成對數據的統計相關性

解釋散點模式，從中心化配對摘要計算相關係數。

學完之後，你能解釋

  • 解釋散點模式，從中心化配對摘要計算相關係數。
  • 在新情境中說明方法的理由，並檢查適用條件。

定義關係

解釋散點模式，從中心化配對摘要計算相關係數。

r=Sxy/SxxSyyr=S_{xy}/\sqrt{S_{xx}S_{yy}}

適用條件

兩個中心平方和均須為正；相關描述線性關聯，不證明因果。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：清楚的 U 形關係可能有零皮爾遜相關嗎？

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

自編示例資料：斜率=2、截距=1、r=1。相關本身不能證明因果。

自編示例資料：斜率=2、截距=1、r=1。相關本身不能證明因果。

解釋：計算兩個符合條件的例子，利用定義關係解釋變化。

遷移：比較對稱 U 形及直線形的散點圖。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

由中心化摘要求 r。

Sxx=4,Syy=4,Sxy=2S_{xx}=4,\quad S_{yy}=4,\quad S_{xy}=2
  • 兩個中心平方和均須為正；相關描述線性關聯，不證明因果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
提示 2
使用此中間關係式。
r=Sxy/SxxSyyr=S_{xy}/\sqrt{S_{xx}S_{yy}}
完整解答

  1. 使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    r=2/(4)=1/2r=2/(4)=1/2

  3. 分母尺度使用正平方根。

所求值為 0.5。

檢查與易錯點：分母尺度使用正平方根。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

說明把所有 y 值加 t 是否改變 r。

t=3t=3
  • 兩個中心平方和均須為正；相關描述線性關聯，不證明因果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
提示 2
使用此中間關係式。
(yi+t)−(yˉ+t)=yi−yˉ(y_i+t)-(\bar y+t)=y_i-\bar y
完整解答

  1. 使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    Sxy,Syy unchangedS_{xy},S_{yy}\text{ unchanged}

  3. 平移不改變中心偏差，因此不改變相關。

所求關係或結論如下。

r unchangedr\text{ unchanged}

檢查與易錯點：平移不改變中心偏差，因此不改變相關。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

全部 x 值均為 t 時，可計算皮爾遜 r 嗎？說明。

xi=4x_i=4
  • 兩個中心平方和均須為正；相關描述線性關聯，不證明因果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
提示 2
使用此中間關係式。
Sxx=0S_{xx}=0
完整解答

  1. 使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    r=Sxy/0⋅Syyr=S_{xy}/\sqrt{0\cdot S_{yy}}

  3. 常數變量沒有變異，不能用來衡量線性相關。

所求關係或結論如下。

r undefinedr\text{ undefined}

檢查與易錯點：常數變量沒有變異，不能用來衡量線性相關。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

由中心化摘要求 r。

Sxx=4,Syy=25,Sxy=5S_{xx}=4,\quad S_{yy}=25,\quad S_{xy}=5
  • 兩個中心平方和均須為正；相關描述線性關聯，不證明因果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
提示 2
使用此中間關係式。
r=Sxy/SxxSyyr=S_{xy}/\sqrt{S_{xx}S_{yy}}
完整解答

  1. 使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    r=5/(10)=1/2r=5/(10)=1/2

  3. 分母尺度使用正平方根。

所求值為 0.5。

檢查與易錯點：分母尺度使用正平方根。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

若 y=tx+2 且 x 並非常數，求 r。

t=6t=6
  • 兩個中心平方和均須為正；相關描述線性關聯，不證明因果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
提示 2
使用此中間關係式。
Sxy=tSxx;Syy=t2SxxS_{xy}=tS_{xx};\quad S_{yy}=t^2S_{xx}
完整解答

  1. 使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    r=t/∣t∣=1r=t/|t|=1

  3. 正斜率給出完全正線性相關。

所求值為 1。

檢查與易錯點：正斜率給出完全正線性相關。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

若 y=−tx+2 且 x 並非常數，求 r。

t=7t=7
  • 兩個中心平方和均須為正；相關描述線性關聯，不證明因果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
提示 2
使用此中間關係式。
Sxy=−tSxxS_{xy}=-tS_{xx}
完整解答

  1. 使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    r=−1r=-1

  3. 相關係數記錄方向，不只是接近直線的程度。

所求值為 -1。

檢查與易錯點：相關係數記錄方向，不只是接近直線的程度。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

配對數據 (−1,t)、(0,0)、(1,t)，求 Sxy。

t=8t=8
  • 兩個中心平方和均須為正；相關描述線性關聯，不證明因果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
提示 2
使用此中間關係式。
xˉ=0;Sxy=∑xi(yi−yˉ)\bar x=0;\quad S_{xy}=\sum x_i(y_i-\bar y)
完整解答

  1. 使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    Sxy=−1(8−16/3)+1(8−16/3)=0S_{xy}=-1(8-16/3)+1(8-16/3)=0

  3. 即使模式是非線性的，對稱性仍使中心乘積相消。

所求值為 0。

檢查與易錯點：即使模式是非線性的，對稱性仍使中心乘積相消。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

配對數據 (−1,t)、(0,0)、(1,t)，求 Sxy。

t=9t=9
  • 兩個中心平方和均須為正；相關描述線性關聯，不證明因果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
提示 2
使用此中間關係式。
xˉ=0;Sxy=∑xi(yi−yˉ)\bar x=0;\quad S_{xy}=\sum x_i(y_i-\bar y)
完整解答

  1. 使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    Sxy=−1(9−18/3)+1(9−18/3)=0S_{xy}=-1(9-18/3)+1(9-18/3)=0

  3. 即使模式是非線性的，對稱性仍使中心乘積相消。

所求值為 0。

檢查與易錯點：即使模式是非線性的，對稱性仍使中心乘積相消。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

說明把所有 y 值加 t 是否改變 r。

t=10t=10
  • 兩個中心平方和均須為正；相關描述線性關聯，不證明因果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
提示 2
使用此中間關係式。
(yi+t)−(yˉ+t)=yi−yˉ(y_i+t)-(\bar y+t)=y_i-\bar y
完整解答

  1. 使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    Sxy,Syy unchangedS_{xy},S_{yy}\text{ unchanged}

  3. 平移不改變中心偏差，因此不改變相關。

所求關係或結論如下。

r unchangedr\text{ unchanged}

檢查與易錯點：平移不改變中心偏差，因此不改變相關。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

觀察調查得出所列讀書時間與分數的正相關。這能證明因果效應嗎？

r=0.4r=0.4
  • 兩個中心平方和均須為正；相關描述線性關聯，不證明因果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
提示 2
考慮混雜因素及研究設計。
完整解答

  1. 使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    Prior preparation may influence both variables.\text{Prior preparation may influence both variables.}

  3. 觀察相關的大小不能取代因果設計或合理控制混淆因素。

所求關係或結論如下。

association does not establish causation\text{association does not establish causation}

檢查與易錯點：觀察相關的大小不能取代因果設計或合理控制混淆因素。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

全部 x 值均為 t 時，可計算皮爾遜 r 嗎？說明。

xi=12x_i=12
  • 兩個中心平方和均須為正；相關描述線性關聯，不證明因果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
提示 2
使用此中間關係式。
Sxx=0S_{xx}=0
完整解答

  1. 使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    r=Sxy/0⋅Syyr=S_{xy}/\sqrt{0\cdot S_{yy}}

  3. 常數變量沒有變異，不能用來衡量線性相關。

所求關係或結論如下。

r undefinedr\text{ undefined}

檢查與易錯點：常數變量沒有變異，不能用來衡量線性相關。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

觀察調查得出所列讀書時間與分數的正相關。這能證明因果效應嗎？

r=0.6r=0.6
  • 兩個中心平方和均須為正；相關描述線性關聯，不證明因果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
提示 2
考慮混雜因素及研究設計。
完整解答

  1. 使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    Prior preparation may influence both variables.\text{Prior preparation may influence both variables.}

  3. 觀察相關的大小不能取代因果設計或合理控制混淆因素。

所求關係或結論如下。

association does not establish causation\text{association does not establish causation}

檢查與易錯點：觀察相關的大小不能取代因果設計或合理控制混淆因素。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

全部 x 值均為 t 時，可計算皮爾遜 r 嗎？說明。

xi=14x_i=14
  • 兩個中心平方和均須為正；相關描述線性關聯，不證明因果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
提示 2
使用此中間關係式。
Sxx=0S_{xx}=0
完整解答

  1. 使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    r=Sxy/0⋅Syyr=S_{xy}/\sqrt{0\cdot S_{yy}}

  3. 常數變量沒有變異，不能用來衡量線性相關。

所求關係或結論如下。

r undefinedr\text{ undefined}

檢查與易錯點：常數變量沒有變異，不能用來衡量線性相關。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

專注一道題目

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

啟用 JavaScript 後顯示本機作答摘要。

    選擇需要重溫的補底知識 ↗

    教師備課與評核

    提問順序

    • 解釋散點模式，從中心化配對摘要計算相關係數。
    • 「成對數據的統計相關性」中哪一個條件不可缺少？
    • 清楚的 U 形關係可能有零皮爾遜相關嗎？

    板書重點

    • 定義關係：解釋散點模式，從中心化配對摘要計算相關係數。
      r=Sxy/SxxSyyr=S_{xy}/\sqrt{S_{xx}S_{yy}}
    • 適用條件：兩個中心平方和均須為正；相關描述線性關聯，不證明因果。

    預期想法

    • 相關係數為零不能排除非線性關係。

    評核清單

    • 1分：選取正確表示法及條件。
    • 1分：建立中間關係式。
    • 1分：完成連貫的計算或證明。
    • 1分：解釋並檢查結論。

    免登入，紀錄保存在此瀏覽器；清除資料前請先匯出。書面推理按清單自評或由教師評核。

    教材與來源說明 ↗