← 高中數學研習室

學習・解釋・訂正

配對 (0,1)、(1,3)、(2,2)，證明有截距回歸的殘差和為零。

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

返回課節／試卷 ↗

高三選擇性必修第三册(A版).pdf · 8.2 · PDF 110 / 印刷頁 105

專題 01

配對數據、回歸直線與有據預測

由配對中心化數據求最小二乘直線，解釋殘差及單位。

學完之後，你能解釋

由配對中心化數據求最小二乘直線，解釋殘差及單位。
區分線性關聯、非線性相依、外推及因果聲稱。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

例題 1–3：先讀完整示範；由已完成的首步接續推理；再獨立選方法，完成後才展開解答。其餘練習可於課後繼續。

01 / 鞏固#獨立練習

配對 (0,1)、(1,3)、(2,2)，證明有截距回歸的殘差和為零。

(x,y)=(0,1),(1,3),(2,2)

保留觀察配對；唯一斜率須 Sxx>0，相關另須 Syy>0，因果聲稱須合適設計。

考點與先備課節

範圍：校本延伸 · 本題發展校本教材技能，超出 JAE 考綱明列範圍。

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用回歸的中心點關係。

提示 2

先從這個中間關係式入手。

\sum e_i=\sum y_i-na-b\sum x_i

完整解答

使用回歸的中心點關係。
建立並化簡此數學關係式。
$\sum e_i=\sum y_i-na-b\sum x_i$
建立並化簡此數學關係式。
$a=\bar y-b\bar x\implies\sum e_i=0$
殘差和為零的性質要求模型配適截距。

ŷ=1.5+0.5x；殘差 −0.5、1、−0.5 的和為零。

檢查與易錯點：殘差和為零的性質要求模型配適截距。

推理清單・自評／教師評核

使用回歸的中心點關係。
列出中間關係，連同限制解釋結論。
殘差和為零的性質要求模型配適截距。

先思考，待同學準備好再展開提示。

教師備課與評核

40 分鐘教案

分鐘	環節	教師及學生任務
5	預測	預測最後一個 y 值升高如何改變回歸斜率。
8	建立概念	示例回答：保留配對，用中心化 Sxy/Sxx；不要各欄分開排序。
10	引導比較	示例回答：觀察 8 減預測 7，殘差為 1。
12	獨立練習與討論	討論單位改變、配對反轉及平方／絕對損失的選擇。
5	課末檢核與下一步	課末：回歸直線不是因果證據，外推至 x=100 須另有理據。

提問順序

預測最後一個 y 值升高如何改變回歸斜率。
示例回答：觀察 8 減預測 7，殘差為 1。

板書發展

配適配對而非分離列表
$b=S_{xy}/S_{xx};\ a=\bar y-b\bar x;\ e=y-\hat y$

預期正誤回答

正確示例：2
預期錯答：−2；預測值減觀察值，倒轉殘差次序。
預期錯答：可以，變量必定獨立。；把零線性相關解釋為獨立。
把殘差相減次序反轉。
把相關當成獨立或因果的判別。

追問

追問：觀察值減預測值。再解釋 −2 為何不成立。
追問：考慮對稱二次散點。再解釋可以，變量必定獨立。為何不成立。
解釋整體反應平移為何只改截距而不改殘差及斜率。

補救

示例回答：保留配對，用中心化 Sxy/Sxx；不要各欄分開排序。
返回首個例題，找出遺漏條件，再不看解答完成一道新題。

離堂檢核

課末：回歸直線不是因果證據，外推至 x=100 須另有理據。

評核清單與作答示例

表示法及條件
保留每組配對，相除前檢查 Sxx=2>0。
連貫數學推理
對 (1,1)、(2,3)、(3,2)，Sxy=1、Sxx=2，故斜率為 1/2。
解釋及邊界檢查
對稱 y=x² 散點可有 r=0，所以零相關不表示獨立。