學習・解釋・訂正

變分及財務模型

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

2027 JM01 考試大綱 · 2, 3 and 8. Percentage, variations, exponential growth · PDF 2 / 印刷頁 2

專題 01

變分及財務模型

辨認正變、反變、聯變及部分變，運用指定利息或折舊模型。

學完之後，你能解釋

辨認正變、反變、聯變及部分變，運用指定利息或折舊模型。
在新情境中說明方法的理由，並檢查適用條件。

模型或定義

辨認正變、反變、聯變及部分變，運用指定利息或折舊模型。

y=kx;\ y=k/x;\ y=kxz;\ y=a+kx;\ A=P(1+r)^n

適用條件

百分率先轉小數；所有數值均為理想模型，須依指定期間及複利規則計算。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：增加10%再減少10%，會回復起始值嗎？

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

示例本金 100，年利率 10%，3 年：單利=130，每年複利=133.1。先升 10% 再跌 10% 得 99。模型不計費用與稅項。

解釋：比較兩個符合條件的情況，利用所述模型解釋結果差異。

遷移：在指定假設比率下，比較單利、離散複利及連續增長。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

y 隨 x 正變；x=2 時 y=t。求 x=6 時 y。

t=2

百分率先轉小數；所有數值均為理想模型，須依指定期間及複利規則計算。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先表示現金流或比例關係，再計算。

提示 2

使用此中間關係式。

y=kx;\quad k=t/2

完整解答

先表示現金流或比例關係，再計算。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$y=(2/2)6=6$
保持比值 y/x 不變。

所求值為 6。

檢查與易錯點：保持比值 y/x 不變。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

假設本金為100t，以年利率10%按年複利兩年。求期末結餘。

t=3

百分率先轉小數；所有數值均為理想模型，須依指定期間及複利規則計算。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先表示現金流或比例關係，再計算。

提示 2

使用此中間關係式。

A=P(1+r)^2

完整解答

先表示現金流或比例關係，再計算。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$A=100(3)(1.1)^2=363$
這是題定課堂模型，沒有額外存款、費用或舍入規則。

所求值為 363。

檢查與易錯點：這是題定課堂模型，沒有額外存款、費用或舍入規則。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

假設金額100t 以每年 ln2 的連續增長率增長。求一年後的值。

t=4

百分率先轉小數；所有數值均為理想模型，須依指定期間及複利規則計算。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先表示現金流或比例關係，再計算。

提示 2

使用此中間關係式。

A=Pe^{ru}

完整解答

先表示現金流或比例關係，再計算。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$A=100(4)e^{\ln2}=800$
連續比率放在指數函數中，不是離散按年複利因子。

所求值為 800。

檢查與易錯點：連續比率放在指數函數中，不是離散按年複利因子。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

y 隨 x 正變；x=2 時 y=t。求 x=6 時 y。

t=5

百分率先轉小數；所有數值均為理想模型，須依指定期間及複利規則計算。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先表示現金流或比例關係，再計算。

提示 2

使用此中間關係式。

y=kx;\quad k=t/2

完整解答

先表示現金流或比例關係，再計算。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$y=(5/2)6=15$
保持比值 y/x 不變。

所求值為 15。

檢查與易錯點：保持比值 y/x 不變。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

y 隨 x 反變；x=2 時 y=t。求 x=4 時 y。

t=6

百分率先轉小數；所有數值均為理想模型，須依指定期間及複利規則計算。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先表示現金流或比例關係，再計算。

提示 2

使用此中間關係式。

xy=k=2t

完整解答

先表示現金流或比例關係，再計算。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$y=12/4=3$
反變模型中 x 加倍會使 y 減半。

所求值為 3。

檢查與易錯點：反變模型中 x 加倍會使 y 減半。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

y 隨 x、z 聯變；x=z=1 時 y=t。求 x=2、z=3 時 y。

t=7

百分率先轉小數；所有數值均為理想模型，須依指定期間及複利規則計算。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先表示現金流或比例關係，再計算。

提示 2

使用此中間關係式。

y=kxz;\quad k=t

完整解答

先表示現金流或比例關係，再計算。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$y=7\cdot2\cdot3=42$
模型包含兩個独立的乘法因子。

所求值為 42。

檢查與易錯點：模型包含兩個独立的乘法因子。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

y=a+kx；x=0 時 y=t，x=2 時 y=t+6。求 x=3 時 y。

t=8

百分率先轉小數；所有數值均為理想模型，須依指定期間及複利規則計算。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先表示現金流或比例關係，再計算。

提示 2

使用此中間關係式。

a=t;\quad 2k=6

完整解答

先表示現金流或比例關係，再計算。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$k=3,\quad y(3)=8+9=17$
部分變同時具有固定部分及比例部分。

所求值為 17。

檢查與易錯點：部分變同時具有固定部分及比例部分。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

y=a+kx；x=0 時 y=t，x=2 時 y=t+6。求 x=3 時 y。

t=9

百分率先轉小數；所有數值均為理想模型，須依指定期間及複利規則計算。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先表示現金流或比例關係，再計算。

提示 2

使用此中間關係式。

a=t;\quad 2k=6

完整解答

先表示現金流或比例關係，再計算。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$k=3,\quad y(3)=9+9=18$
部分變同時具有固定部分及比例部分。

所求值為 18。

檢查與易錯點：部分變同時具有固定部分及比例部分。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

假設本金為100t，以年利率10%按年複利兩年。求期末結餘。

t=10

百分率先轉小數；所有數值均為理想模型，須依指定期間及複利規則計算。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先表示現金流或比例關係，再計算。

提示 2

使用此中間關係式。

A=P(1+r)^2

完整解答

先表示現金流或比例關係，再計算。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$A=100(10)(1.1)^2=1210$
這是題定課堂模型，沒有額外存款、費用或舍入規則。

所求值為 1210。

檢查與易錯點：這是題定課堂模型，沒有額外存款、費用或舍入規則。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

價值100t 的資產每年折舊20%，兩年後值多少？

t=11

百分率先轉小數；所有數值均為理想模型，須依指定期間及複利規則計算。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先表示現金流或比例關係，再計算。

提示 2

使用此中間關係式。

V=P(1-0.2)^2

完整解答

先表示現金流或比例關係，再計算。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$V=100(11)(0.8)^2=704$
每年折舊作用於當時剩餘價值。

所求值為 704。

檢查與易錯點：每年折舊作用於當時剩餘價值。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

假設金額100t 以每年 ln2 的連續增長率增長。求一年後的值。

t=12

百分率先轉小數；所有數值均為理想模型，須依指定期間及複利規則計算。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先表示現金流或比例關係，再計算。

提示 2

使用此中間關係式。

A=Pe^{ru}

完整解答

先表示現金流或比例關係，再計算。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$A=100(12)e^{\ln2}=2400$
連續比率放在指數函數中，不是離散按年複利因子。

所求值為 2400。

檢查與易錯點：連續比率放在指數函數中，不是離散按年複利因子。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

價值100t 的資產每年折舊20%，兩年後值多少？

t=13

百分率先轉小數；所有數值均為理想模型，須依指定期間及複利規則計算。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先表示現金流或比例關係，再計算。

提示 2

使用此中間關係式。

V=P(1-0.2)^2

完整解答

先表示現金流或比例關係，再計算。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$V=100(13)(0.8)^2=832$
每年折舊作用於當時剩餘價值。

所求值為 832。

檢查與易錯點：每年折舊作用於當時剩餘價值。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

假設金額100t 以每年 ln2 的連續增長率增長。求一年後的值。

t=14

百分率先轉小數；所有數值均為理想模型，須依指定期間及複利規則計算。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先表示現金流或比例關係，再計算。

提示 2

使用此中間關係式。

A=Pe^{ru}

完整解答

先表示現金流或比例關係，再計算。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$A=100(14)e^{\ln2}=2800$
連續比率放在指數函數中，不是離散按年複利因子。

所求值為 2800。

檢查與易錯點：連續比率放在指數函數中，不是離散按年複利因子。

先思考，待同學準備好再展開提示。

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

啟用 JavaScript 後顯示本機作答摘要。

選擇需要重溫的補底知識 ↗

教師備課與評核

提問順序

辨認正變、反變、聯變及部分變，運用指定利息或折舊模型。
「變分及財務模型」中哪一個條件不可缺少？
增加10%再減少10%，會回復起始值嗎？

板書重點

模型或定義：辨認正變、反變、聯變及部分變，運用指定利息或折舊模型。
$y=kx;\ y=k/x;\ y=kxz;\ y=a+kx;\ A=P(1+r)^n$
適用條件：百分率先轉小數；所有數值均為理想模型，須依指定期間及複利規則計算。

預期想法

連續百分率變化應把變化因子相乘，不是把比率相加。

評核清單

1分：選取正確表示法及條件。
1分：建立中間關係式。
1分：完成連貫的計算或證明。
1分：解釋並檢查結論。