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學習・解釋・訂正

平面圖形及圓幾何定理

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

2027 JM01 考試大綱 · 12. Rectilinear figures and circles · PDF 3 / 印刷頁 3

專題 01

平面圖形及圓幾何定理

用有標示的點及相應弧，運用相似、角度及圓幾何定理。

學完之後，你能解釋

  • 用有標示的點及相應弧，運用相似、角度及圓幾何定理。
  • 在新情境中說明方法的理由，並檢查適用條件。

模型或定義

用有標示的點及相應弧，運用相似、角度及圓幾何定理。

similarity length ratio k⇒area ratio k2\text{similarity length ratio }k\Rightarrow\text{area ratio }k^2

適用條件

圓周角比較須對應同弧及指定側；內接四邊形對角和為180°。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：相似三角形的邊長加倍，面積也只加倍嗎？

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

圓 x²+y²=4，直線 y=1；交點數=2，弦長=3.4641。恰在 h=r 時相切。

圓 x²+y²=4，直線 y=1；交點數=2，弦長=3.4641。恰在 h=r 時相切。

解釋：比較兩個符合條件的情況，利用所述模型解釋結果差異。

遷移：比較一份定理證明及一個錯配弧的容易誤用情況。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

凸多邊形有 t+3 條邊。求內角和（度）。

t=2t=2
  • 圓周角比較須對應同弧及指定側；內接四邊形對角和為180°。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
辨認相關幾何定理，並驗證其前提。
提示 2
使用此中間關係式。
S=(n−2)180∘S=(n-2)180^\circ
完整解答

  1. 辨認相關幾何定理，並驗證其前提。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    S=(5−2)180=540S=(5-2)180=540

  3. 由一個頂點劃分會得到 n−2 個三角形。

所求值為 540。

檢查與易錯點：由一個頂點劃分會得到 n−2 個三角形。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

圓內接四邊形某內角為 a°。求其對角。

a=23a=23
  • 圓周角比較須對應同弧及指定側；內接四邊形對角和為180°。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
辨認相關幾何定理，並驗證其前提。
提示 2
對角之和為180°。
完整解答

  1. 辨認相關幾何定理，並驗證其前提。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    β=180−23=157∘\beta=180-23=157^\circ

  3. 所求為對角，不是鄰角。

所求值為 157。

檢查與易錯點：所求為對角，不是鄰角。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

半徑5t 的圓，弦到圓心距離為3t。求弦長。

t=4t=4
  • 圓周角比較須對應同弧及指定側；內接四邊形對角和為180°。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
辨認相關幾何定理，並驗證其前提。
提示 2
圓心到弦的垂線平分此弦。
完整解答

  1. 辨認相關幾何定理，並驗證其前提。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    (L/2)2=(20)2−(12)2=256(L/2)^2=(20)^2-(12)^2=256

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    L=32=32L=32=32

  4. 直角三角形計算先得到半弦長。

所求值為 32。

檢查與易錯點：直角三角形計算先得到半弦長。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

凸多邊形有 t+3 條邊。求內角和（度）。

t=5t=5
  • 圓周角比較須對應同弧及指定側；內接四邊形對角和為180°。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
辨認相關幾何定理，並驗證其前提。
提示 2
使用此中間關係式。
S=(n−2)180∘S=(n-2)180^\circ
完整解答

  1. 辨認相關幾何定理，並驗證其前提。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    S=(8−2)180=1080S=(8-2)180=1080

  3. 由一個頂點劃分會得到 n−2 個三角形。

所求值為 1080。

檢查與易錯點：由一個頂點劃分會得到 n−2 個三角形。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

直角三角形兩直角邊為3t、4t。求斜邊。

t=6t=6
  • 圓周角比較須對應同弧及指定側；內接四邊形對角和為180°。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
辨認相關幾何定理，並驗證其前提。
提示 2
使用此中間關係式。
c2=(3t)2+(4t)2c^2=(3t)^2+(4t)^2
完整解答

  1. 辨認相關幾何定理，並驗證其前提。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    c=5(6)=30c=5(6)=30

  3. 畢氏定理用於直角兩側的邊及其對面的斜邊。

所求值為 30。

檢查與易錯點：畢氏定理用於直角兩側的邊及其對面的斜邊。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

相似三角形邊長比2:3，較小面積為4t。求較大面積。

t=7t=7
  • 圓周角比較須對應同弧及指定側；內接四邊形對角和為180°。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
辨認相關幾何定理，並驗證其前提。
提示 2
面積比為 (2/3)²。
完整解答

  1. 辨認相關幾何定理，並驗證其前提。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    Alarge=4(7)⋅9/4=63A_{\rm large}=4(7)\cdot9/4=63

  3. 面積比為對應邊長比的平方。

所求值為 63。

檢查與易錯點：面積比為對應邊長比的平方。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

圓心角對應小弧為2a°，求對應同一小弧的圓周角。

a=28a=28
  • 圓周角比較須對應同弧及指定側；內接四邊形對角和為180°。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
辨認相關幾何定理，並驗證其前提。
提示 2
使用此中間關係式。
∠inscribed=∠central/2\angle_{\rm inscribed}=\angle_{\rm central}/2
完整解答

  1. 辨認相關幾何定理，並驗證其前提。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    ∠=56/2=28∘\angle=56/2=28^\circ

  3. 該角必須對應題目所述同一弧。

所求值為 28。

檢查與易錯點：該角必須對應題目所述同一弧。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

圓心角對應小弧為2a°，求對應同一小弧的圓周角。

a=29a=29
  • 圓周角比較須對應同弧及指定側；內接四邊形對角和為180°。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
辨認相關幾何定理，並驗證其前提。
提示 2
使用此中間關係式。
∠inscribed=∠central/2\angle_{\rm inscribed}=\angle_{\rm central}/2
完整解答

  1. 辨認相關幾何定理，並驗證其前提。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    ∠=58/2=29∘\angle=58/2=29^\circ

  3. 該角必須對應題目所述同一弧。

所求值為 29。

檢查與易錯點：該角必須對應題目所述同一弧。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

圓內接四邊形某內角為 a°。求其對角。

a=30a=30
  • 圓周角比較須對應同弧及指定側；內接四邊形對角和為180°。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
辨認相關幾何定理，並驗證其前提。
提示 2
對角之和為180°。
完整解答

  1. 辨認相關幾何定理，並驗證其前提。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    β=180−30=150∘\beta=180-30=150^\circ

  3. 所求為對角，不是鄰角。

所求值為 150。

檢查與易錯點：所求為對角，不是鄰角。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

半徑 t 的圓，扇形角為 π/3 弧度。求扇形面積。

t=11t=11
  • 圓周角比較須對應同弧及指定側；內接四邊形對角和為180°。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
辨認相關幾何定理，並驗證其前提。
提示 2
使用此中間關係式。
A=r2θ/2A=r^2\theta/2
完整解答

  1. 辨認相關幾何定理，並驗證其前提。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    A=121π/6A=121\pi/6

  3. 此公式要求弧度，且面積隨半徑平方變化。

所求值為 63.3554518474。

檢查與易錯點：此公式要求弧度，且面積隨半徑平方變化。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

半徑5t 的圓，弦到圓心距離為3t。求弦長。

t=12t=12
  • 圓周角比較須對應同弧及指定側；內接四邊形對角和為180°。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
辨認相關幾何定理，並驗證其前提。
提示 2
圓心到弦的垂線平分此弦。
完整解答

  1. 辨認相關幾何定理，並驗證其前提。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    (L/2)2=(60)2−(36)2=2304(L/2)^2=(60)^2-(36)^2=2304

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    L=96=96L=96=96

  4. 直角三角形計算先得到半弦長。

所求值為 96。

檢查與易錯點：直角三角形計算先得到半弦長。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

半徑 t 的圓，扇形角為 π/3 弧度。求扇形面積。

t=13t=13
  • 圓周角比較須對應同弧及指定側；內接四邊形對角和為180°。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
辨認相關幾何定理，並驗證其前提。
提示 2
使用此中間關係式。
A=r2θ/2A=r^2\theta/2
完整解答

  1. 辨認相關幾何定理，並驗證其前提。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    A=169π/6A=169\pi/6

  3. 此公式要求弧度，且面積隨半徑平方變化。

所求值為 88.4881930761。

檢查與易錯點：此公式要求弧度，且面積隨半徑平方變化。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

半徑5t 的圓，弦到圓心距離為3t。求弦長。

t=14t=14
  • 圓周角比較須對應同弧及指定側；內接四邊形對角和為180°。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
辨認相關幾何定理，並驗證其前提。
提示 2
圓心到弦的垂線平分此弦。
完整解答

  1. 辨認相關幾何定理，並驗證其前提。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    (L/2)2=(70)2−(42)2=3136(L/2)^2=(70)^2-(42)^2=3136

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    L=112=112L=112=112

  4. 直角三角形計算先得到半弦長。

所求值為 112。

檢查與易錯點：直角三角形計算先得到半弦長。

先思考，待同學準備好再展開提示。

專注一道題目

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

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    選擇需要重溫的補底知識 ↗

    教師備課與評核

    提問順序

    • 用有標示的點及相應弧，運用相似、角度及圓幾何定理。
    • 「平面圖形及圓幾何定理」中哪一個條件不可缺少？
    • 相似三角形的邊長加倍，面積也只加倍嗎？

    板書重點

    • 模型或定義：用有標示的點及相應弧，運用相似、角度及圓幾何定理。
      similarity length ratio k⇒area ratio k2\text{similarity length ratio }k\Rightarrow\text{area ratio }k^2
    • 適用條件：圓周角比較須對應同弧及指定側；內接四邊形對角和為180°。

    預期想法

    • 弧長、弦長及半徑長是不同量。

    評核清單

    • 1分：選取正確表示法及條件。
    • 1分：建立中間關係式。
    • 1分：完成連貫的計算或證明。
    • 1分：解釋並檢查結論。

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