2022 JM01

1. 三角和不可能達到 3。

   $$|\sin x+\cos x|=|\sqrt2\sin(x+\pi/4)|\le\sqrt2<3$$

2. 其餘集合分別包含 0、±1、∅ 或 (0,0)。

B。

檢查與易錯點：須區分 ∅ 與 {∅}。

1. 把差通分。

   $$\frac{b+m}{a+m}-\frac ba=\frac{m(a-b)}{a(a+m)}$$

2. 各因子符號皆使結果為正。

   $$m(a-b)>0,\quad a(a+m)>0\implies\frac ba<\frac{b+m}{a+m}$$

C。

檢查與易錯點：含 b−m 的分式可能變號或無定義。

1. 計算兩餘數。

   $$f(2)=20+2a+b,\quad f(-1)=2-a+b$$

2. 解所得一次方程。

   $$20+2a=2-a\implies a=-6$$

E：−6。

檢查與易錯點：x+1 的根是 −1，不是 1。

1. 辨認完全平方。

   $$7-4\sqrt3=(2-\sqrt3)^2$$

2. 2>√3，因此非負平方根取此正值。

   $$\sqrt{(2-\sqrt3)^2}=|2-\sqrt3|=2-\sqrt3$$

B：2−√3。

檢查與易錯點：√(u²)=|u|，不一定直接等於 u。

1. 二次判別式化成一次式。

   $$\Delta=4(p+3)^2-4p(p-1)=4(7p+9)\ge0\iff p\ge-9/7$$

2. p=0 時一次方程 −6x−1=0 也有實根，且已在此範圍內。

D：p≥−9/7。

檢查與易錯點：題目只說方程，不可捨去一次情況。

1. 表示兩個倒數。

   $$\frac1a=\frac{\ln2}{\ln\sqrt{10}},\quad\frac1b=\frac{\ln5}{\ln\sqrt{10}}$$

2. 用 ln2+ln5=ln10 合併。

   $$\frac1a+\frac1b=\frac{\ln10}{(1/2)\ln10}=2$$

A：2。

檢查與易錯點：共同值為 √10，其對數為 ln10 的一半。

1. 推導並相加兩水平距離。

   $$d^2=(R+r)^2-(R-r)^2=4Rr,\quad2\sqrt{3r}+2\sqrt{4r}=2\sqrt{12}$$

2. 求 r 並有理化。

   $$r=\frac{12}{(\sqrt3+2)^2}=\frac{12}{7+4\sqrt3}=84-48\sqrt3$$

A：84−48√3。

檢查與易錯點：有界空隙條件決定兩段水平距離應相加。

1. 把三場敗率相乘。

   $$P(\text{no wins})=(3/4)^3=27/64$$

2. 從一減去。

   $$P(\text{at least one})=1-27/64=37/64$$

D：37/64。

檢查與易錯點：直接相加三場勝率會重複計算多場勝利。

1. 化成縱向比較。

   $$y\le2x+4,\quad y\ge5-x,\quad y\ge2$$

2. 即在兩條下界上方、上升直線下方的區域 IV。

D：區域 IV。

檢查與易錯點：三個條件須同時滿足。

1. 寫出直線方程。

   $$y-2=-\frac32(x-1)$$

2. 令 x=0。

   $$y=2+3/2=7/2$$

A：(0,7/2)。

檢查與易錯點：y 軸截點的 x=0。

1. 首 30 座分成六個互不重疊五座組，每行至少六空位。

   $$\text{occupied per row}\le32-6=26$$

2. 重複「四坐一空」六次，再坐最後兩座。

   $$\text{rows}=6400/32=200,\quad\max=26(200)=5200$$

B：5200。

檢查與易錯點：最後不完整的一組不必再空一座。

1. 用韋達公式及平均條件。

   $$\frac1{x_1}+\frac1{x_2}=\frac{8/3}{m/3}=\frac8m=4\implies m=2$$

2. 檢查實根及非零條件。

   $$\Delta=64-12(2)=40>0,\quad x_1x_2=2/3\ne0$$

E：m=2。

檢查與易錯點：平均為 2 表示和為 4，不是和為 2。

1. 計算全部有序數對。

   $$N=5\cdot4=20$$

2. 計算有利數對。

   $$N_f=3\cdot4=12,\quad P=12/20=3/5$$

C：3/5。

檢查與易錯點：數字不可重複，但次序有別。

1. 合併兩種底數項。

   $$6^x-2^x=6\cdot2^x-6\cdot6^x\implies7\cdot6^x=7\cdot2^x$$

2. 用指數函數的單射性。

   $$3^x=1\implies x=0$$

C：x=0。

檢查與易錯點：6 的 x+1 次方是 6·6ˣ，不是 6ˣ+1。

1. 建立距離方程。

   $$(n-3\sqrt3/2)^2+(-3/2)^2=3$$

2. 分解所得二次式。

   $$n^2-3\sqrt3n+6=(n-\sqrt3)(n-2\sqrt3)=0$$

E：n=√3 或 2√3。

檢查與易錯點：轉向角為 150°，三角形內角為其補角 30°。

1. 寫成 f(x)=a(x−2)²−9，其中 a>0。

   $$0=9a-9\implies a=1$$

2. 展開結果。

   $$f(x)=(x-2)^2-9=x^2-4x-5$$

a=1、b=−4、c=−5。

檢查與易錯點：最小值指定頂點縱坐標，並非直接指定常數 c。

1. 進行兩個變換。

   $$y=f(x+3)+3$$

2. 化簡。

   $$y=(x+1)^2-6=x^2+2x-5$$

y=(x+1)²−6。

檢查與易錯點：水平及垂直平移作用於公式的不同位置。

1. 頂點 t=2 在內部值範圍內。

   $$g_{\min}=f(2)=-9$$

2. 距 2 最遠的端點為 −3。

   $$g_{\max}=f(-3)=25-9=16$$

最大值 16；最小值 −9。

檢查與易錯點：應在內部值範圍求 f 的極值，而非在所有實數上。

1. 解 q 的重根二次式。

   $$8q=1+16q^2\iff(4q-1)^2=0\implies q=1/4$$

2. 把 q 代入兩個定義。

   $$a_n=4^{1-n},\quad b_n=\frac n4\,4^{1-n}=\frac n{4^n}$$

aₙ=4¹⁻ⁿ；bₙ=n/4ⁿ。

檢查與易錯點：須先把數列項乘 4、16，再使用等差條件。

1. 計算等比和。

   $$S_n=\frac{1-4^{-n}}{1-1/4}=\frac43(1-4^{-n})$$

2. 錯位相減計算等差等比乘積和。

   $$3T_n=1+\frac14+\cdots+\frac1{4^{n-1}}-\frac n{4^n}=\frac43(1-4^{-n})-n4^{-n}$$

3. 除以三。

   $$T_n=\frac49-\frac{3n+4}{9\cdot4^n}$$

Sₙ=4(1−4⁻ⁿ)/3；Tₙ=4/9−(3n+4)/(9·4ⁿ)。

檢查與易錯點：錯位相減最後會留下 −n/4ⁿ。

1. 半軸平方滿足 b²=a²/2。

   $$1-\frac{b^2}{a^2}=1/2$$

2. 用點的條件求兩者。

   $$\frac8{a^2/2}+\frac{16}{a^2}=1\implies a^2=32,\quad b^2=16$$

x²/16+y²/32=1。

檢查與易錯點：長軸垂直時較大分母在 y² 下。

1. 求中點橫坐標。

   $$(2+k_1^2)x^2+2k_1dx+d^2-32=0\implies x_M=-\frac{k_1d}{2+k_1^2}$$

2. 求縱坐標與比值；k₁d≠0 保證 xM≠0。

   $$y_M=\frac{2d}{2+k_1^2},\quad k_2=\frac{y_M}{x_M}=-\frac2{k_1}\implies k_1k_2=-2$$

k₁k₂=−2。

檢查與易錯點：斜率及截距非零的條件保證 OM 斜率有限且有定義。

1. 取 r=2、β=π/6。

   $$2\cos(\theta+\pi/6)=\sqrt3\cos\theta-\sin\theta$$

2. 使用完整餘弦值域。

   $$-2\le\sqrt3\cos\theta-\sin\theta\le2$$

2cos(θ+π/6)，值域 [−2,2]。

檢查與易錯點：負正弦係數對應餘弦括號內的正相位。

1. 平移角在 [π/6,13π/6]。

   $$\theta+\pi/6=2\pi/3\text{ or }4\pi/3$$

2. 減去相位。

   $$\theta=\pi/2\text{ or }7\pi/6$$

θ=π/2 或 7π/6。

檢查與易錯點：餘弦方程的兩個解均須保留。

1. 輔助角表示式給出 cos2u=−1/4。

   $$2\cos(\theta+\pi/6)=-1/2\implies\sin^2u=\frac{1+1/4}2=5/8$$

2. u 在 [π/12,7π/12]，其正弦為正。

   $$\sin u=\sqrt{5/8}=\frac{\sqrt{10}}4$$

√10/4。

檢查與易錯點：此小題右方為 −1/2，與 (b) 不同。

1. 基礎情況為 14 的倍數。

   $$3^6+5^3=729+125=854=14\cdot61$$

2. 假設 14 整除 Aₖ=3⁴ᵏ⁺²+5²ᵏ⁺¹。

3. 把下一項寫成兩個 14 倍數之和。

   $$A_{k+1}=81\cdot3^{4k+2}+25\cdot5^{2k+1}=25A_k+56\cdot3^{4k+2}$$

4. 由歸納假設及 56=4·14 完成歸納步，因此對所有正整數 n 成立。

對所有正整數 n 均可被 14 整除。

檢查與易錯點：須寫出歸納假設及其如何證明下一情況。