求 (a) 兩數列前 n 項和 Sₙ、Tₙ。

01 / 鞏固#獨立練習

a_n=4^{1-n},\quad b_n=n4^{-n}

官方試卷 · jm01-2022 · II.2(b) · PDF 4

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

Sₙ 用等比和。

提示 2

以 4Tₙ 減 Tₙ 消去變動係數。

完整解答

計算等比和。
$S_n=\frac{1-4^{-n}}{1-1/4}=\frac43(1-4^{-n})$
錯位相減計算等差等比乘積和。
$3T_n=1+\frac14+\cdots+\frac1{4^{n-1}}-\frac n{4^n}=\frac43(1-4^{-n})-n4^{-n}$
除以三。
$T_n=\frac49-\frac{3n+4}{9\cdot4^n}$

Sₙ=4(1−4⁻ⁿ)/3；Tₙ=4/9−(3n+4)/(9·4ⁿ)。

檢查與易錯點：錯位相減最後會留下 −n/4ⁿ。

推理清單・自評／教師評核

以下為自編教學評核清單；官方分值以原卷為準。
計算等比和。
$S_n=\frac{1-4^{-n}}{1-1/4}=\frac43(1-4^{-n})$
錯位相減計算等差等比乘積和。
$3T_n=1+\frac14+\cdots+\frac1{4^{n-1}}-\frac n{4^n}=\frac43(1-4^{-n})-n4^{-n}$
除以三。
$T_n=\frac49-\frac{3n+4}{9\cdot4^n}$

先思考，待同學準備好再展開提示。

2022 JM01