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學習・解釋・訂正

半徑 3、4 的兩圓外切並與同一直線相切，小圓位於兩圓與直線的有界空隙中，且與三者相切，求半徑。

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

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專題 01

2022 JM01

有界空隙條件決定兩段水平距離應相加。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 鞏固#獨立練習

半徑 3、4 的兩圓外切並與同一直線相切，小圓位於兩圓與直線的有界空隙中，且與三者相切，求半徑。

官方試卷 · jm01-2022 · I.7 · PDF 2

官方原卷及參考答案 ↗ · 參考答案 PDF 頁 5

考點與先備課節

選項 A $84-48\sqrt3$
選項 B $\sqrt2-1$
選項 C $2\sqrt2-2$
選項 D $6-4\sqrt2$
選項 E $42-24\sqrt3$

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

與直線相切的 R、r 兩圓，圓心水平距離為 2√(Rr)。

提示 2

小圓圓心在兩大圓圓心水平位置之間。

完整解答

推導並相加兩水平距離。
$d^2=(R+r)^2-(R-r)^2=4Rr,\quad2\sqrt{3r}+2\sqrt{4r}=2\sqrt{12}$
求 r 並有理化。
$r=\frac{12}{(\sqrt3+2)^2}=\frac{12}{7+4\sqrt3}=84-48\sqrt3$

A：84−48√3。

檢查與易錯點：有界空隙條件決定兩段水平距離應相加。

推理清單・自評／教師評核

以下為自編教學評核清單；官方分值以原卷為準。
推導並相加兩水平距離。
$d^2=(R+r)^2-(R-r)^2=4Rr,\quad2\sqrt{3r}+2\sqrt{4r}=2\sqrt{12}$
求 r 並有理化。
$r=\frac{12}{(\sqrt3+2)^2}=\frac{12}{7+4\sqrt3}=84-48\sqrt3$

先思考，待同學準備好再展開提示。