Kenneth Cheng數學建模
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學習・解釋・訂正

數學歸納法

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

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先重溫：等差數列等比數列

專題 01

數學歸納法

用已驗證的起點、明確歸納假設及有效歸納步驟建立證明。

學完之後，你能解釋

  • 用已驗證的起點、明確歸納假設及有效歸納步驟建立證明。
  • 在新情境中說明方法的理由，並檢查適用條件。

定義關係

用已驗證的起點、明確歸納假設及有效歸納步驟建立證明。

P(n0)∧[P(k)⇒P(k+1)]P(n_0)\land[P(k)\Rightarrow P(k+1)]

適用條件

歸納法只證明從起點開始、指定整數範圍內的命題。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：正確的歸納步驟能補救錯誤或缺漏的起始情況嗎？

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

n=4 時奇數和等於 n²。錯式 n²+1 仍有相同增量 2n+1，但 c≠0 時起始步已錯。有限次檢查本身不構成歸納證明。1+3+…+(2n−1) = 16n² = 16; n²+c = 17

n=4 時奇數和等於 n²。錯式 n²+1 仍有相同增量 2n+1，但 c≠0 時起始步已錯。有限次檢查本身不構成歸納證明。

解釋：計算兩個符合條件的例子，利用定義關係解釋變化。

遷移：指出一份擬議證明中失敗的環節，修正範圍或論證。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

用歸納法證明平移整數求和式。

∑j=1n(j+2)=n(2)+n(n+1)/2\sum_{j=1}^n(j+2)=n(2)+n(n+1)/2
  • 歸納法只證明從起點開始、指定整數範圍內的命題。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
驗證起始情況，假設 k 時成立，再證明 k+1 時成立。
提示 2
使用此中間關係式。
S(k+1)=S(k)+k+1+tS(k+1)=S(k)+k+1+t
完整解答

  1. 驗證起始情況，假設 k 時成立，再證明 k+1 時成立。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    n=1:1+2=2+1n=1:1+2=2+1

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    Sk+1=2k+k(k+1)/2+k+1+2S_{k+1}=2k+k(k+1)/2+k+1+2

  4. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    Sk+1=2(k+1)+(k+1)(k+2)/2S_{k+1}=2(k+1)+(k+1)(k+2)/2

  5. 新增的平移項須包含固定常數。

所求關係或結論如下。

Sn=2n+n(n+1)/2S_n=2n+n(n+1)/2

檢查與易錯點：新增的平移項須包含固定常數。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

以 t 為起點，證明所有整數 n≥t，2ⁿ≥n+1。

t=3t=3
  • 歸納法只證明從起點開始、指定整數範圍內的命題。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
驗證起始情況，假設 k 時成立，再證明 k+1 時成立。
提示 2
使用此中間關係式。
2(k+1)=2⋅2k2^(k+1)=2·2^k
完整解答

  1. 驗證起始情況，假設 k 時成立，再證明 k+1 時成立。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    n=3:23=8≥4n=3:2^{3}=8≥4

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    2k+1≥2(k+1)≥k+22^{k+1}≥2(k+1)≥k+2

  4. 明確起始驗證及歸納步驟只涵蓋指定範圍。

所求關係或結論如下。

2n≥n+1(n≥3)2^n\ge n+1\quad(n\ge3)

檢查與易錯點：明確起始驗證及歸納步驟只涵蓋指定範圍。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

反證所有非負整數 n，n²+n+t 都是質數的命題。

t=4t=4
  • 歸納法只證明從起點開始、指定整數範圍內的命題。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
找一個符合範圍的反例。
提示 2
嘗試 n=t。
完整解答

  1. 找一個符合範圍的反例。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    n=4⇒n2+n+t=4(6)n=4 ⇒ n^2+n+t=4(6)

  3. 兩因子均大於一，因此此值為合數。

所求關係或結論如下。

n=4:n2+n+t=4⋅6n=4:n^2+n+t=4·6

檢查與易錯點：兩因子均大於一，因此此值為合數。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

用歸納法證明平移整數求和式。

∑j=1n(j+5)=n(5)+n(n+1)/2\sum_{j=1}^n(j+5)=n(5)+n(n+1)/2
  • 歸納法只證明從起點開始、指定整數範圍內的命題。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
驗證起始情況，假設 k 時成立，再證明 k+1 時成立。
提示 2
使用此中間關係式。
S(k+1)=S(k)+k+1+tS(k+1)=S(k)+k+1+t
完整解答

  1. 驗證起始情況，假設 k 時成立，再證明 k+1 時成立。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    n=1:1+5=5+1n=1:1+5=5+1

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    Sk+1=5k+k(k+1)/2+k+1+5S_{k+1}=5k+k(k+1)/2+k+1+5

  4. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    Sk+1=5(k+1)+(k+1)(k+2)/2S_{k+1}=5(k+1)+(k+1)(k+2)/2

  5. 新增的平移項須包含固定常數。

所求關係或結論如下。

Sn=5n+n(n+1)/2S_n=5n+n(n+1)/2

檢查與易錯點：新增的平移項須包含固定常數。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

證明奇數求和公式。

1+3+⋯+(2n−1)=n21+3+\cdots+(2n-1)=n^2
  • 歸納法只證明從起點開始、指定整數範圍內的命題。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
驗證起始情況，假設 k 時成立，再證明 k+1 時成立。
提示 2
使用此中間關係式。
Sk+1=Sk+2k+1S_{k+1}=S_k+2k+1
完整解答

  1. 驗證起始情況，假設 k 時成立，再證明 k+1 時成立。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    n=1: 1=1n=1:\ 1=1

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    Sk+1=k2+2k+1=(k+1)2S_{k+1}=k^2+2k+1=(k+1)^2

  4. 新增的奇數項是2k+1，不是2k−1。

所求關係或結論如下。

Sn=n2S_n=n^2

檢查與易錯點：新增的奇數項是2k+1，不是2k−1。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

證明有限二次冪求和公式。

1+2+⋯+2n−1=2n−11+2+\cdots+2^{n-1}=2^n-1
  • 歸納法只證明從起點開始、指定整數範圍內的命題。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
驗證起始情況，假設 k 時成立，再證明 k+1 時成立。
提示 2
使用此中間關係式。
Sk+1=Sk+2kS_{k+1}=S_k+2^k
完整解答

  1. 驗證起始情況，假設 k 時成立，再證明 k+1 時成立。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    n=1: 1=2−1n=1:\ 1=2-1

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    Sk+1=2k−1+2k=2k+1−1S_{k+1}=2^k-1+2^k=2^{k+1}-1

  4. n 項和的最高指數是 n−1。

所求關係或結論如下。

Sn=2n−1S_n=2^n-1

檢查與易錯點：n 項和的最高指數是 n−1。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

證明所有 n≥1，n³−n+3tn 可被3整除。

t=8t=8
  • 歸納法只證明從起點開始、指定整數範圍內的命題。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
驗證起始情況，假設 k 時成立，再證明 k+1 時成立。
提示 2
使用此中間關係式。
f(k+1)−f(k)=3k(k+1)+3tf(k+1)−f(k)=3k(k+1)+3t
完整解答

  1. 驗證起始情況，假設 k 時成立，再證明 k+1 時成立。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    f(1)=3(8)f(1)=3(8)

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    f(k+1)=f(k)+3k(k+1)+3(8)f(k+1)=f(k)+3k(k+1)+3(8)

  4. 起始值及增量均為3的倍數。

所求關係或結論如下。

3∣(n3−n+3tn)3 | (n^3−n+3tn)

檢查與易錯點：起始值及增量均為3的倍數。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

證明所有 n≥1，n³−n+3tn 可被3整除。

t=9t=9
  • 歸納法只證明從起點開始、指定整數範圍內的命題。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
驗證起始情況，假設 k 時成立，再證明 k+1 時成立。
提示 2
使用此中間關係式。
f(k+1)−f(k)=3k(k+1)+3tf(k+1)−f(k)=3k(k+1)+3t
完整解答

  1. 驗證起始情況，假設 k 時成立，再證明 k+1 時成立。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    f(1)=3(9)f(1)=3(9)

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    f(k+1)=f(k)+3k(k+1)+3(9)f(k+1)=f(k)+3k(k+1)+3(9)

  4. 起始值及增量均為3的倍數。

所求關係或結論如下。

3∣(n3−n+3tn)3 | (n^3−n+3tn)

檢查與易錯點：起始值及增量均為3的倍數。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

以 t 為起點，證明所有整數 n≥t，2ⁿ≥n+1。

t=10t=10
  • 歸納法只證明從起點開始、指定整數範圍內的命題。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
驗證起始情況，假設 k 時成立，再證明 k+1 時成立。
提示 2
使用此中間關係式。
2(k+1)=2⋅2k2^(k+1)=2·2^k
完整解答

  1. 驗證起始情況，假設 k 時成立，再證明 k+1 時成立。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    n=10:210=1024≥11n=10:2^{10}=1024≥11

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    2k+1≥2(k+1)≥k+22^{k+1}≥2(k+1)≥k+2

  4. 明確起始驗證及歸納步驟只涵蓋指定範圍。

所求關係或結論如下。

2n≥n+1(n≥10)2^n\ge n+1\quad(n\ge10)

檢查與易錯點：明確起始驗證及歸納步驟只涵蓋指定範圍。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

用歸納法證明此縮放裂項公式。

∑j=1n11/[j(j+1)]=11n/(n+1)\sum_{j=1}^n11/[j(j+1)]=11n/(n+1)
  • 歸納法只證明從起點開始、指定整數範圍內的命題。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
驗證起始情況，假設 k 時成立，再證明 k+1 時成立。
提示 2
使用此中間關係式。
S(k+1)=S(k)+t/[(k+1)(k+2)]S(k+1)=S(k)+t/[(k+1)(k+2)]
完整解答

  1. 驗證起始情況，假設 k 時成立，再證明 k+1 時成立。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    n=1:11/2=11/2n=1:11/2=11/2

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    Sk+1=11k/(k+1)+11/[(k+1)(k+2)]=11(k+1)/(k+2)S_{k+1}=11k/(k+1)+11/[(k+1)(k+2)]=11(k+1)/(k+2)

  4. 固定因子須保留在新增項及目標式。

所求關係或結論如下。

Sn=11n/(n+1)S_n=11n/(n+1)

檢查與易錯點：固定因子須保留在新增項及目標式。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

反證所有非負整數 n，n²+n+t 都是質數的命題。

t=12t=12
  • 歸納法只證明從起點開始、指定整數範圍內的命題。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
找一個符合範圍的反例。
提示 2
嘗試 n=t。
完整解答

  1. 找一個符合範圍的反例。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    n=12⇒n2+n+t=12(14)n=12 ⇒ n^2+n+t=12(14)

  3. 兩因子均大於一，因此此值為合數。

所求關係或結論如下。

n=12:n2+n+t=12⋅14n=12:n^2+n+t=12·14

檢查與易錯點：兩因子均大於一，因此此值為合數。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

用歸納法證明此縮放裂項公式。

∑j=1n13/[j(j+1)]=13n/(n+1)\sum_{j=1}^n13/[j(j+1)]=13n/(n+1)
  • 歸納法只證明從起點開始、指定整數範圍內的命題。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
驗證起始情況，假設 k 時成立，再證明 k+1 時成立。
提示 2
使用此中間關係式。
S(k+1)=S(k)+t/[(k+1)(k+2)]S(k+1)=S(k)+t/[(k+1)(k+2)]
完整解答

  1. 驗證起始情況，假設 k 時成立，再證明 k+1 時成立。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    n=1:13/2=13/2n=1:13/2=13/2

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    Sk+1=13k/(k+1)+13/[(k+1)(k+2)]=13(k+1)/(k+2)S_{k+1}=13k/(k+1)+13/[(k+1)(k+2)]=13(k+1)/(k+2)

  4. 固定因子須保留在新增項及目標式。

所求關係或結論如下。

Sn=13n/(n+1)S_n=13n/(n+1)

檢查與易錯點：固定因子須保留在新增項及目標式。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

反證所有非負整數 n，n²+n+t 都是質數的命題。

t=14t=14
  • 歸納法只證明從起點開始、指定整數範圍內的命題。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
找一個符合範圍的反例。
提示 2
嘗試 n=t。
完整解答

  1. 找一個符合範圍的反例。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    n=14⇒n2+n+t=14(16)n=14 ⇒ n^2+n+t=14(16)

  3. 兩因子均大於一，因此此值為合數。

所求關係或結論如下。

n=14:n2+n+t=14⋅16n=14:n^2+n+t=14·16

檢查與易錯點：兩因子均大於一，因此此值為合數。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

專注一道題目

課末檢核與訂正

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    教師備課與評核

    提問順序

    • 用已驗證的起點、明確歸納假設及有效歸納步驟建立證明。
    • 「數學歸納法」中哪一個條件不可缺少？
    • 正確的歸納步驟能補救錯誤或缺漏的起始情況嗎？

    板書重點

    • 定義關係：用已驗證的起點、明確歸納假設及有效歸納步驟建立證明。
      P(n0)∧[P(k)⇒P(k+1)]P(n_0)\land[P(k)\Rightarrow P(k+1)]
    • 適用條件：歸納法只證明從起點開始、指定整數範圍內的命題。

    預期想法

    • 驗算很多例子不能代替歸納步驟。

    評核清單

    • 1分：選取正確表示法及條件。
    • 1分：建立中間關係式。
    • 1分：完成連貫的計算或證明。
    • 1分：解釋並檢查結論。

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