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學習・解釋・訂正

證明所有 n≥1，n³−n+3tn 可被3整除。

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

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高二選擇性必修第二册(A版).pdf · 4.4 · PDF 49 / 印刷頁 44

先重溫：等差數列等比數列

專題 01

數學歸納法

用已驗證的起點、明確歸納假設及有效歸納步驟建立證明。

學完之後，你能解釋

用已驗證的起點、明確歸納假設及有效歸納步驟建立證明。
在新情境中說明方法的理由，並檢查適用條件。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#獨立練習

證明所有 n≥1，n³−n+3tn 可被3整除。

t=8

歸納法只證明從起點開始、指定整數範圍內的命題。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

驗證起始情況，假設 k 時成立，再證明 k+1 時成立。

提示 2

使用此中間關係式。

f(k+1)−f(k)=3k(k+1)+3t

完整解答

驗證起始情況，假設 k 時成立，再證明 k+1 時成立。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$f(1)=3(8)$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$f(k+1)=f(k)+3k(k+1)+3(8)$
起始值及增量均為3的倍數。

所求關係或結論如下。

3 | (n^3−n+3tn)

檢查與易錯點：起始值及增量均為3的倍數。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

教師備課與評核

提問順序

用已驗證的起點、明確歸納假設及有效歸納步驟建立證明。
「數學歸納法」中哪一個條件不可缺少？
正確的歸納步驟能補救錯誤或缺漏的起始情況嗎？

板書重點

定義關係：用已驗證的起點、明確歸納假設及有效歸納步驟建立證明。
$P(n_0)\land[P(k)\Rightarrow P(k+1)]$
適用條件：歸納法只證明從起點開始、指定整數範圍內的命題。

預期想法

驗算很多例子不能代替歸納步驟。

評核清單

1分：選取正確表示法及條件。
1分：建立中間關係式。
1分：完成連貫的計算或證明。
1分：解釋並檢查結論。