2026 JM01

1. 開口向上的二次式在兩根之間不大於零。

   $$(x+2)(x-1)\le0\iff -2\le x\le1$$

2. 保留同時屬於兩集合的點。

   $$B=(-\infty,0]\cup[2,\infty),\quad A\cap B=[-2,0]$$

A：[−2,0]。

檢查與易錯點：B 的 ≥ 必須保留邊界點。

1. 原式要求分母不為零。

   $$2y-x\ne0,\quad3x+5y=10y-5x$$

2. 若 y 為零，x 也為零，與分母條件矛盾。

   $$8x=5y\implies \frac xy=\frac58$$

B：5/8。

檢查與易錯點：整理比例時不要把 x/y 倒轉。

1. 整理為對每個實數 x 均為零的一次式。

   $$(3+b)x=a+5$$

2. x 係數及常數差均須為零。

   $$b=-3,\ a=-5,\quad a-b=-2$$

C：−2。

檢查與易錯點：有一個解與有無窮多解的條件不同。

1. 計算判別式。

   $$\Delta=(-6)^2-4k=36-4k$$

2. 要求判別式為正並求解。

   $$36-4k>0\iff k<9$$

E：k<9。

檢查與易錯點：k=9 時兩根重合。

1. 代入 −3，而不是 3。

   $$R=P(-3)=\sum_{j=0}^{1000}(-3)^j$$

2. 套用有限等比和公式。

   $$R=\frac{1-(-3)^{1001}}{1-(-3)}=\frac{1+3^{1001}}4$$

D：(1+3¹⁰⁰¹)/4。

檢查與易錯點：次數 1000 的和包含常數項，共有 1001 項。

1. 韋達定理給出兩個量。

   $$\alpha+\beta=\frac52,\quad\alpha\beta=\frac12$$

2. 減去兩倍的積。

   $$\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=\frac{25}4-1=\frac{21}4$$

C：21/4。

檢查與易錯點：中間項為 2αβ，不是 αβ。

1. 對數的底須為正且不等於一。

   $$a,b>0,\ a,b\ne1,\quad\log_a b=x-1\ne0$$

2. 使用換底公式。

   $$\log_b(ab)=\frac{\log_a(ab)}{\log_a b}=\frac{x}{x-1}$$

B：x/(x−1)。

檢查與易錯點：x=1 會使 b=1，不能作對數的底。

1. 圓心至切點的向量為切線的法向量。

   $$(x+1)^2+(y-3)^2=25,\ C=(-1,3),\ \overrightarrow{CT}=(-3,-4)$$

2. 使用點法式。

   $$3(x+4)+4(y+1)=0\iff3x+4y+16=0$$

D：3x+4y+16=0。

檢查與易錯點：半徑方向須由圓心而非原點求得。

1. 只留下偶次項與常數項。

   $$f(x)+f(-x)=-16x^2-8$$

2. 在恆等式中代入 x=2。

   $$-6+f(-2)=-72\implies f(-2)=-66$$

E：−66。

檢查與易錯點：含奇偶次項的多項式不能直接當作奇函數。

1. 每種情況分別選出男生及女生。

   $$N_{3,2}=\binom63\binom42=120,\quad N_{4,1}=\binom64\binom41=60$$

2. 兩種情況互斥，故相加。

   $$N=120+60=180$$

A：180 種。

檢查與易錯點：委員會不計次序，使用排列會重複計算。

1. 移項平方並保留根式非負的條件。

   $$\sqrt{3x^2-2x+4}=\sqrt{3x^2-4x+1}+1\implies\sqrt{3x^2-4x+1}=x+1$$

2. 再平方，並把候選根代回原方程。

   $$3x^2-4x+1=(x+1)^2\implies2x(x-3)=0;\quad x=0:1-2=-1,\ x=3:4-5=-1$$

D：{0,3}。

檢查與易錯點：平方只產生候選根，仍須代回檢查。

1. 已知角與 x+π/4 相差兩個正切週期。

   $$\frac{\sin x+\cos x}{\cos x-\sin x}=-7$$

2. 化為倒數；已知值排除了被約去因子為零的情況。

   $$\frac{1-\sin2x}{\cos2x}=\frac{(\cos x-\sin x)^2}{(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)}=-\frac17$$

A：−1/7。

檢查與易錯點：所求是該正切值的倒數，而不是正切值本身。

1. 已知和非零，故首項不為零。

   $$2a(1+r+r^2)=a(r^3-1)\implies(r-3)(r^2+r+1)=0$$

2. 對實數 r，二次因子恆正；兩項各向後移兩位，和乘以 r²。

   $$r=3,\quad a_5+a_7=r^2(a_3+a_5)=9\cdot7=63$$

D：63。

檢查與易錯點：r²+r+1=0 沒有實根。

1. 寫出頂點的橫坐標。

   $$x_v=\frac{a-1}3$$

2. 要在整個開區間遞減，頂點可以等於左端點。

   $$\frac{a-1}3\le-1\iff a\le-2$$

B：a≤−2。

檢查與易錯點：可取等號，因為區間不含 −1。

1. g 的值域須含 0，但不能含 (−4,0) 的任何點，因此不能是含 0 的向下半直線。

2. 符合條件的向上半直線只能由 0 開始，其 f 像確為所求值域。

   $$g(\mathbb R)=[0,\infty),\quad f([0,\infty))=[0,4)\cup[2,\infty)=[0,\infty)$$

C：[0,∞)。

檢查與易錯點：不連通的集合不可能是實二次函數的值域。

1. 每位射手以失手概率加命中概率乘 t 表示。

   $$G(t)=\left(\frac14+\frac34t\right)\left(\frac13+\frac23t\right)\left(\frac12+\frac12t\right)$$

2. 展開後，t 的 k 次項係數為得 k 分的概率。

   $$G(t)=\frac{1+6t+11t^2+6t^3}{24}$$

得 0、1、2、3 分的概率依次為 1/24、1/4、11/24、1/4。

檢查與易錯點：三人的命中率不同，A 隊不能直接套用同一二項分布。

1. 以二項公式求 B 的概率。

   $$P(B=3)=\frac{27}{64},\quad P(B=2)=\binom32\left(\frac34\right)^2\frac14=\frac{27}{64}$$

2. 獨立事件的概率相乘，再把互斥情況相加。

   $$P=\frac1{24}\frac{27}{64}+\frac14\frac{27}{64}=\frac{63}{512}$$

63/512。

檢查與易錯點：只要求總分為三會錯誤加入 A 勝出的情況。

1. x=0 時縱坐標為 5。

   $$P=(0,5)$$

2. 頂點處平方項為零。

   $$y=9-(x-2)^2,\quad Q=(2,9)$$

P=(0,5)，Q=(2,9)。

檢查與易錯點：頂點縱坐標是 9，而不是常數項 5。

1. 把 P 反射為 P′，其到 x 軸上各點的距離不變。

   $$P'=(0,-5),\quad PM=P'M,\quad P'M+MQ\ge P'Q$$

2. 線段與 x 軸交點處取等號。

   $$P'Q:\ y=7x-5,\quad M=\left(\frac57,0\right)$$

3. 計算兩端點的直線距離。

   $$\min(PM+QM)=\sqrt{2^2+14^2}=10\sqrt2$$

最小值為 10√2，在 M=(5/7,0) 取得。

檢查與易錯點：直接連接 P、Q 不經 x 軸，不能達成題目的限制。

1. 解兩個一次條件。

   $$a_1+4d=44,\quad\frac52(a_1+44)=140\implies a_1=12,\ d=8$$

2. 代入第 n 項公式。

   $$a_n=12+8(n-1)=8n+4$$

n≥1 時，aₙ=8n+4。

檢查與易錯點：第五項與首項相差四個公差。

1. 求部分和的倒數並分解。

   $$S_n=\frac n2(12+8n+4)=4n(n+2),\quad b_n=\frac18\left(\frac1n-\frac1{n+2}\right)$$

2. 中間項相消，只餘首兩項與末兩項。

   $$T_n=\frac18\left(1+\frac12-\frac1{n+1}-\frac1{n+2}\right)=\frac3{16}-\frac18\left(\frac1{n+1}+\frac1{n+2}\right)$$

Tₙ=3/16−(1/8)(1/(n+1)+1/(n+2))。

檢查與易錯點：分母相差二，所以會留下兩個末項。

1. 各項為正，部分和遞增，n=1 時最小。

   $$T_n\ge T_1=b_1=\frac1{4\cdot1\cdot3}=\frac1{12}$$

2. 對有限正整數 n，餘項嚴格為正。

   $$\frac18\left(\frac1{n+1}+\frac1{n+2}\right)>0\implies T_n<\frac3{16}$$

下界只在 n=1 取得；上界不會取得。

檢查與易錯點：數列的極限不一定是可取得的最大值。

1. 把離心率關係平方。

   $$\frac{c^2}{a^2}=\frac32,\quad b^2=c^2-a^2=\frac{a^2}2$$

2. 代入已知點並取正半軸。

   $$\frac{12}{a^2}-\frac4{a^2/2}=1\implies a^2=4,\ b^2=2$$

x²/4−y²/2=1。

檢查與易錯點：雙曲線的 c²=a²+b²，與橢圓的關係不同。

1. 代入得兩實根及其對稱和。

   $$x^2-2(x-6)^2=4\implies x^2-24x+76=0,\quad x_1+x_2=24,\ x_1x_2=76$$

2. 兩根都不為 2，因此兩斜率均存在。

   $$m_1m_2=\frac{(x_1-6)(x_2-6)}{(x_1-2)(x_2-2)}=\frac{76-6(24)+36}{76-2(24)+4}=-1$$

3. 兩斜率乘積為 −1，故兩直線垂直。

AM⊥BM。

檢查與易錯點：兩條斜率的分母須分別使用 x₁−2、x₂−2。

1. 進行第一次代入。

   $$x_2=\frac{3(3/2)}{3/2+3}=1$$

2. 再套用同一函數。

   $$x_3=\frac{3\cdot1}{1+3}=\frac34$$

x₂=1，x₃=3/4。

檢查與易錯點：遞推是反覆作用 f，不是把項數 n 直接代入 f。

1. n=1 時為 3/2，符合首項。

   $$x_1=\frac3{1+1}$$

2. 假設 k 時成立，再使用遞推式。

   $$x_{k+1}=\frac{3\cdot3/(k+1)}{3/(k+1)+3}=\frac3{k+2}$$

3. 歸納法遂證明 xₙ；再作用 f 即把項數增加一。

   $$x_n=\frac3{n+1},\quad f(x_n)=x_{n+1}=\frac3{n+2}\quad(n\ge1)$$

xₙ=3/(n+1)，因此 f(xₙ)=3/(n+2)。

檢查與易錯點：原題寫 f(xₙ)，參考答案卻證明 xₙ；此處同列兩者，以免項數偏移。