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學習・解釋・訂正

P=(0,5)、Q=(2,9)，M 在 x 軸上，求 PM+QM 的最小值及 M。

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

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專題 01

2026 JM01

直接連接 P、Q 不經 x 軸，不能達成題目的限制。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 鞏固#獨立練習

P=(0,5)、Q=(2,9)，M 在 x 軸上，求 PM+QM 的最小值及 M。

官方試卷 · jm01-2026 · II.2(b) · PDF 4

官方原卷及參考答案 ↗ · 參考答案 PDF 頁 7

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把其中一個端點對 x 軸反射。

提示 2

連接反射點與另一端點，利用直線最短。

完整解答

把 P 反射為 P′，其到 x 軸上各點的距離不變。
$P'=(0,-5),\quad PM=P'M,\quad P'M+MQ\ge P'Q$
線段與 x 軸交點處取等號。
$P'Q:\ y=7x-5,\quad M=\left(\frac57,0\right)$
計算兩端點的直線距離。
$\min(PM+QM)=\sqrt{2^2+14^2}=10\sqrt2$

最小值為 10√2，在 M=(5/7,0) 取得。

檢查與易錯點：直接連接 P、Q 不經 x 軸，不能達成題目的限制。

推理清單・自評／教師評核

以下為自編教學評核清單；官方分值以原卷為準。
把 P 反射為 P′，其到 x 軸上各點的距離不變。
$P'=(0,-5),\quad PM=P'M,\quad P'M+MQ\ge P'Q$
線段與 x 軸交點處取等號。
$P'Q:\ y=7x-5,\quad M=\left(\frac57,0\right)$
計算兩端點的直線距離。
$\min(PM+QM)=\sqrt{2^2+14^2}=10\sqrt2$

先思考，待同學準備好再展開提示。