直線 y=x−6 與上述雙曲線交於 A、B。設 M=(2,0)，證明 AM⊥BM。

01 / 鞏固#獨立練習

官方試卷 · jm01-2026 · II.4(b) · PDF 4

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

消去 y，求交點橫坐標滿足的二次方程。

提示 2

把根的和與積代入兩斜率的乘積。

完整解答

代入得兩實根及其對稱和。
$x^2-2(x-6)^2=4\implies x^2-24x+76=0,\quad x_1+x_2=24,\ x_1x_2=76$
兩根都不為 2，因此兩斜率均存在。
$m_1m_2=\frac{(x_1-6)(x_2-6)}{(x_1-2)(x_2-2)}=\frac{76-6(24)+36}{76-2(24)+4}=-1$
兩斜率乘積為 −1，故兩直線垂直。

AM⊥BM。

檢查與易錯點：兩條斜率的分母須分別使用 x₁−2、x₂−2。

推理清單・自評／教師評核

以下為自編教學評核清單；官方分值以原卷為準。
代入得兩實根及其對稱和。
$x^2-2(x-6)^2=4\implies x^2-24x+76=0,\quad x_1+x_2=24,\ x_1x_2=76$
兩根都不為 2，因此兩斜率均存在。
$m_1m_2=\frac{(x_1-6)(x_2-6)}{(x_1-2)(x_2-2)}=\frac{76-6(24)+36}{76-2(24)+4}=-1$
兩斜率乘積為 −1，故兩直線垂直。

先思考，待同學準備好再展開提示。

2026 JM01