在 x>0 時求最大值。

01 / 鞏固#獨立練習

f(x)=\frac{3x}{x+3},\quad g(x)=\frac{f(x^2)}x

官方試卷 · jm01-2026 · II.5(b) · PDF 5

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先代入 x²，再除以 x。

提示 2

對 x+3/x 使用算術幾何平均不等式。

完整解答

利用 x>0 化簡。
$g(x)=\frac{3x}{x^2+3}=\frac3{x+3/x}$
把正分母取最小值，並列出等號條件。
$x+\frac3x\ge2\sqrt3,\quad g(x)\le\frac{\sqrt3}2,\quad x=\frac3x\iff x=\sqrt3$

在 x=√3 時取得最大值 √3/2。

檢查與易錯點：必須給出等號條件，才能證明上界確可取得。

推理清單・自評／教師評核

以下為自編教學評核清單；官方分值以原卷為準。
利用 x>0 化簡。
$g(x)=\frac{3x}{x^2+3}=\frac3{x+3/x}$
把正分母取最小值，並列出等號條件。
$x+\frac3x\ge2\sqrt3,\quad g(x)\le\frac{\sqrt3}2,\quad x=\frac3x\iff x=\sqrt3$

先思考，待同學準備好再展開提示。

2026 JM01