2021 JM01

1. 開口向上的二次式在兩根之間為負。

   $$(x-3)(x-12)<0\Rightarrow Q=(3,12)$$

2. 與有限集合取交集。

   $$P\cap Q=\{5,7,11\};\quad|P\cap Q|=3$$

B：3 個元素。

檢查與易錯點：嚴格不等式排除端點 3。

1. 寫出兩人各自速率。

   $$r=1/4+1/3=7/12$$

2. 使用時間等於工作量除以速率。

   $$T=5/(7/12)=60/7$$

E：60/7 小時。

檢查與易錯點：4 與 3 的平均不能給出合作速率。

1. 求通項。

   $$a_n=S_n-S_{n-1}=n^2-(n-1)^2=2n-1$$

2. 代入 n=10。

   $$a_{10}=20-1=19$$

A：19。

檢查與易錯點：S₁₀ 是十項總和，不是第十項。

1. m<0 時兩端為負；m=0 時 6x 變號，因此必須 m>0。

2. 排除實根及與零相切。

   $$\Delta=36-12m^2<0\iff m^2>3$$

3. 合併兩項限制。

   $$m>\sqrt3$$

B：m>√3。

檢查與易錯點：判別式為零可令函數值零，因此不符合嚴格恆正。

1. 讀出原根關係。

   $$\alpha+\beta=3/2,\quad\alpha\beta=7/2$$

2. 變換根的關係。

   $$1/\alpha+1/\beta=3/7,\quad1/(\alpha\beta)=2/7$$

3. 建立多項式並清分母。

   $$x^2-(3/7)x+2/7=0\iff7x^2-3x+2=0$$

B：7x²−3x+2=0。

檢查與易錯點：韋達關係不要求原根必為實數。

1. 每圓半徑為 2 cm，面積為 4π。

   $$r=4/2=2,\quad|D_1|=|D_2|=4\pi$$

2. 先用容斥，再從長方形扣除。

   $$|D_1\cup D_2|=8\pi-3;\quad S=28-(8\pi-3)=31-8\pi$$

A：31−8π cm²。

檢查與易錯點：兩圓有重疊，並沒有假設兩圓外切。

1. 指數非正，而正的指數值不會達零。

   $$u=3^{-x^2}\in(0,1]$$

2. 比較端點及不能取得的極限值。

   $$k=u^2-4u=(u-2)^2-4\in[-3,0)$$

3. 每個 (0,1] 內的 u 均對應實數 x。

   $$x=\pm\sqrt{-\log_3u}$$

C：−3≤k<0 為確切範圍。

檢查與易錯點：不可包括 k=0；它只為極限值，不能取得。

1. 在一次因式的根使用因式定理。

   $$0=f(-1/2)=2+m/2-m=2-m/2$$

2. 解一次方程。

   $$m=4$$

D：4。

檢查與易錯點：所代輸入為 −1/2，不是 −1。

1. 乘方前先化簡底數。

   $$103^{10}\equiv3^{10}\pmod{100}$$

2. 讀出較小冪的最後兩位。

   $$3^{10}=59049\equiv49\pmod{100}$$

C：十位數字為 4。

檢查與易錯點：個位數字 9 並非所求十位數字。

1. 第一式給出 y=u+3。

   $$2u^2=1-u\iff(2u-1)(u+1)=0$$

2. 把兩個對數值轉回 x。

   $$u=1/2,-1\Rightarrow x=4^{1/2}=2,\ 4^{-1}=1/4$$

A：x=1/4 或 2。

檢查與易錯點：兩個 x 均為正，符合對數定義域。

1. 圖像由 1 至 5，因此中線為 3、振幅為 2。

   $$c=(5+1)/2=3,\quad A=(5-1)/2=2$$

2. 零與 π 的頂峰給出週期 π、頻率 2。

   $$T=\pi\Rightarrow\omega=2\pi/T=2$$

3. 圖像由最大值開始，符合正的餘弦形式。

   $$y=3+2\cos2x$$

B：y=3+2cos 2x。

檢查與易錯點：頻率須由完整週期求得，不能把峰谷距離當完整週期。

1. 計算中點及線段斜率。

   $$M=(2,-2),\quad m_{PQ}=2/6=1/3$$

2. 寫出垂直直線。

   $$y+2=-3(x-2)\iff3x+y-4=0$$

E：3x+y−4=0。

檢查與易錯點：經端點的垂線不一定平分線段。

1. 變換平均數。

   $$\overline{10x}=10\bar x=10$$

2. 變換方差。

   $$\operatorname{Var}(10X)=10^2\operatorname{Var}(X)=100(0.01)=1$$

D：平均數 10，方差 1。

檢查與易錯點：標準差乘 10，方差則乘 100。

1. 有理化前先化簡分子。

   $$\frac{2(\sqrt{35}-\sqrt{33})}{\sqrt{35}+\sqrt{33}}$$

2. 共軛後分母為 35−33=2。

   $$\frac{2(\sqrt{35}-\sqrt{33})^2}{35-33}=68-2\sqrt{1155}$$

A：68−2√1155。

檢查與易錯點：平方時保留交叉項 −2√(35·33)。

1. 對兩個新正變數用基本不等式。

   $$u+v=3\Rightarrow uv\le(3/2)^2=9/4$$

2. 反轉正的界限並核對等號。

   $$ab=20/(uv)\ge80/9;\quad a=10/3,\ b=8/3$$

C：80/9。

檢查與易錯點：等號要求 5/a=4/b，不是 a=b。

1. 總數及有利數均按組合計數。

   $$N=\binom93=84,\quad F=4\cdot2\cdot3=24$$

2. 約成最簡分數。

   $$P=24/84=2/7$$

2/7。

檢查與易錯點：三類書數量不同，不可把每次抽取的三類當成等可能。

1. 有 3! 種段次序，各段內部有 4!、2!、3! 種次序。

   $$F=3!\,4!\,2!\,3!$$

2. 除以九本不同書的全部排列。

   $$P=\frac{3!4!2!3!}{9!}=1/210$$

1/210。

檢查與易錯點：同類書仍各自不同。

1. 使用點線距離公式。

   $$r=\frac{|2(4)-4|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=4/\sqrt5$$

2. 代入圓心及半徑。

   $$(x-4)^2+(y-4)^2=16/5\iff5x^2+5y^2-40x-40y+144=0$$

(x−4)²+(y−4)²=16/5。

檢查與易錯點：原點至 M 的斜距不是半徑。

1. 令圓心到直線的距離平方相等。

   $$\frac{(4m-4)^2}{m^2+1}=16/5$$

2. 求解並區分兩條切線。

   $$5(m-1)^2=m^2+1\iff(2m-1)(m-2)=0$$

3. m=2 為 L₁，另一條不同直線取其餘根。

   $$m=1/2$$

m=1/2。

檢查與易錯點：兩個代數根均為切線斜率，但只有一個是所求另一條線。

1. 配成 x 的平方後分拆 y² 係數。

   $$x^2-2mxy+y^2=(x-my)^2+(1-m^2)y^2$$

2. 使用原等式並移項。

   $$(1-m^2)y^2=a^2-(x-my)^2$$

(1−m²)y²=a²−(x−my)²。

檢查與易錯點：此處配方的是 x−my，不是 y−mx。

1. 求正 y 的最佳上界。

   $$y^2=\frac{a^2}{1-m^2}-\frac{(x-my)^2}{1-m^2}\le\frac{a^2}{1-m^2}$$

2. 0<m<1，且可行性使 a≠0，因此等號可在正坐標取得。

   $$y=\frac{|a|}{\sqrt{1-m^2}},\quad x=my>0$$

3. m 非零，因此等號關係等價於題目形式。

   $$x=my\iff y=x/m$$

最大值在 x=my，即 y=x/m 時取得。

檢查與易錯點：不可把分數 x/m 誤讀成乘積 mx。

1. 由 y 為正及平方界限求最大值。

   $$y_{\max}=\sqrt{a^2/(1-m^2)}=|a|/\sqrt{1-m^2}$$

2. 按 x=my 乘以 m。

   $$x_0=\frac{m|a|}{\sqrt{1-m^2}}$$

x=m|a|/√(1−m²)。

檢查與易錯點：a 的正負未指定，因此 √(a²)=|a|。

1. 求公差。

   $$d=(39-3)/(20-2)=2$$

2. 求首項及通項。

   $$a_1=3-2=1;\quad a_n=1+2(n-1)=2n-1$$

aₙ=2n−1。

檢查與易錯點：項號差為 18，不是 19 或 20。

1. 使用相鄰奇數倒數之差。

   $$\frac1{(2k-1)(2k+1)}=\frac12\left(\frac1{2k-1}-\frac1{2k+1}\right)$$

2. 裂項相消並解分式方程。

   $$S_n=\frac12\left(1-\frac1{2n+1}\right)=\frac n{2n+1}$$

3. 所得 n 為正整數。

   $$n/(2n+1)=10/21\Rightarrow21n=20n+10\Rightarrow n=10$$

n=10。

檢查與易錯點：裂項恆等式中須保留 1/2。

1. 餘弦決定內角 B 的正正弦值。

   $$\sin B=\sqrt{1-8/9}=1/3$$

2. 合併 C−A=π/2 及 A+B+C=π。

   $$2C=3\pi/2-B\Rightarrow\cos2C=-\sin B=-1/3$$

3. 使用降冪恆等式。

   $$\sin^2C=(1-\cos2C)/2=(1+1/3)/2=2/3$$

sin²C=2/3。

檢查與易錯點：所求是正弦平方，不是倍角正弦。

1. 為鈍角選正確餘弦符號。

   $$\sin C=\sqrt{2/3},\quad\cos C=-1/\sqrt3,\quad\sin A=\sin(C-\pi/2)=1/\sqrt3$$

2. 在正弦定理中配對對邊。

   $$BC=AC\frac{\sin A}{\sin B}=5\frac{1/\sqrt3}{1/3}=5\sqrt3$$

3. AC、BC 的夾角為 C。

   $$S=\frac12(5)(5\sqrt3)\sqrt{2/3}=\frac{25\sqrt2}2$$

面積為 25√2/2。

檢查與易錯點：把 cos C 取正會違反 C 為鈍角的條件。