← 高中數學研習室

學習・解釋・訂正

方程有實數解。按官方最佳答案要求，選出 k 可取得的範圍。

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

返回課節／試卷 ↗

專題 01

2021 JM01

不可包括 k=0；它只為極限值，不能取得。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 鞏固#獨立練習

方程有實數解。按官方最佳答案要求，選出 k 可取得的範圍。

9^{-x^2}-4\cdot3^{-x^2}=k

官方試卷 · jm01-2021 · I.7 · PDF 2

官方原卷及參考答案 ↗ · 參考答案 PDF 頁 5

考點與先備課節

選項 A $k>0$
選項 B $-4\le k\le1$
選項 C $-3\le k<0$
選項 D $0<k\le3$
以上皆非

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

設 u=3^(−x²)，先求其確切範圍。

提示 2

在 0<u≤1，u²−4u 遞減。

完整解答

指數非正，而正的指數值不會達零。
$u=3^{-x^2}\in(0,1]$
比較端點及不能取得的極限值。
$k=u^2-4u=(u-2)^2-4\in[-3,0)$
每個 (0,1] 內的 u 均對應實數 x。
$x=\pm\sqrt{-\log_3u}$

C：−3≤k<0 為確切範圍。

檢查與易錯點：不可包括 k=0；它只為極限值，不能取得。

推理清單・自評／教師評核

以下為自編教學評核清單；官方分值以原卷為準。
指數非正，而正的指數值不會達零。
$u=3^{-x^2}\in(0,1]$
比較端點及不能取得的極限值。
$k=u^2-4u=(u-2)^2-4\in[-3,0)$
每個 (0,1] 內的 u 均對應實數 x。
$x=\pm\sqrt{-\log_3u}$

先思考，待同學準備好再展開提示。