同一等差數列，Sₙ 為 1/(aₖaₖ₊₁) 從 k=1 至 n 的和；Sₙ=10/21 時求 n。

01 / 鞏固#獨立練習

a_k=2k-1,\quad S_n=\sum_{k=1}^n\frac1{a_ka_{k+1}}

官方試卷 · jm01-2021 · II.4(b) · PDF 4

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把每個分母拆成兩個簡單分式。

提示 2

相鄰項會互相抵消。

完整解答

使用相鄰奇數倒數之差。
$\frac1{(2k-1)(2k+1)}=\frac12\left(\frac1{2k-1}-\frac1{2k+1}\right)$
裂項相消並解分式方程。
$S_n=\frac12\left(1-\frac1{2n+1}\right)=\frac n{2n+1}$
所得 n 為正整數。
$n/(2n+1)=10/21\Rightarrow21n=20n+10\Rightarrow n=10$

n=10。

檢查與易錯點：裂項恆等式中須保留 1/2。

推理清單・自評／教師評核

以下為自編教學評核清單；官方分值以原卷為準。
使用相鄰奇數倒數之差。
$\frac1{(2k-1)(2k+1)}=\frac12\left(\frac1{2k-1}-\frac1{2k+1}\right)$
裂項相消並解分式方程。
$S_n=\frac12\left(1-\frac1{2n+1}\right)=\frac n{2n+1}$
所得 n 為正整數。
$n/(2n+1)=10/21\Rightarrow21n=20n+10\Rightarrow n=10$

先思考，待同學準備好再展開提示。

2021 JM01