2024 JM01

1. 二次式在兩根之間非正。

   $$A=[-1,4],\quad B=[-a/3,\infty)$$

2. 交集由 2 開始，因此 −a/3=2。

   $$a=-6$$

B：a=−6。

檢查與易錯點：除以正數 3 不改變不等號方向。

1. 自變量每增加一，函數值減少一。

   $$f(x+1)=f(x)-1$$

2. 由零開始遞推。

   $$f(15)=16-15=1$$

B：1。

檢查與易錯點：此遞推令函數值減少。

1. 約去 xy 項。

   $$4x+5y=2x+y-1\implies y=-\frac x2-\frac14$$

2. 斜率乘以 x 的變量。

   $$\Delta y=-\frac12(4)=-2$$

C：y 減少 2。

檢查與易錯點：乘積外的負號須分配至各項。

1. 列出兩因式所需係數。

   $$[x^0](\sqrt x-2)^5=-32,\quad[x](\sqrt x-2)^5=\binom52(-2)^3=-80$$

2. 第二因式常數為 1，x 係數為 −8。

   $$[x]=(-32)(-8)+(-80)(1)=176$$

C：176。

檢查與易錯點：√x 項不能與整數次方項配成 x。

1. 求半徑平方。

   $$r^2=2^2+3^2=13$$

2. 展開圓的標準式。

   $$(x-2)^2+(y-3)^2=13\iff x^2+y^2-4x-6y=0$$

D。

檢查與易錯點：圓經原點，因此展開後常數項為零。

1. 化簡分子。

   $$3\log(1/2)+\log16=(-3+4)\log2=\log2$$

2. 化簡分母再相除。

   $$\log4+\log5-1=\log(20/10)=\log2\ne0$$

A：1。

檢查與易錯點：對數真數為 1/2，不是 12。

1. 把兩個非零和相除。

   $$r^5=288/9=32\implies r=2$$

2. 求 a₂ 並前進十八項。

   $$a_2(1+2^3)=9\implies a_2=1,\quad a_{20}=2^{18}=262144$$

D：262144。

檢查與易錯點：由第二項至第二十項相隔十八個公比。

1. 解出 n。

   $$13n+8=5(6.8)=34\implies n=2$$

2. 取排序後的中央項。

   $$-1,2,4,9,20\implies\operatorname{median}=4$$

A：4。

檢查與易錯點：原列第三項不一定是中位數，必須先排序。

1. 分子為完全平方。

   $$1+\frac{(m^4-1)^2}{4m^4}=\frac{(m^4+1)^2}{4m^4}$$

2. m⁴+1 及 2m² 都為正。

   $$\sqrt{\frac{(m^4+1)^2}{4m^4}}=\frac{m^4+1}{2m^2}=\frac{m^2}2+\frac1{2m^2}$$

C。

檢查與易錯點：平方根取非負值，且 m=0 不在定義域。

1. 求餘弦。

   $$\cos C=\sqrt{1-48/49}=1/7$$

2. 設 a=BC>0 並求解。

   $$64=a^2+49-2(7)a(1/7)\implies(a-5)(a+3)=0\implies a=5$$

E：5。

檢查與易錯點：銳角條件決定餘弦取正值。

1. 求首項係數。

   $$y=a(x+2)(x-6),\quad4=-12a\implies a=-1/3$$

2. 在對稱軸處求值。

   $$x=2,\quad y=-\frac13(4)(-4)=\frac{16}3$$

B：16/3。

檢查與易錯點：首項係數為負，所以頂點為極大處。

1. 求一段完整遞增區間。

   $$\pi<x+\pi/3<2\pi\iff2\pi/3<x<5\pi/3$$

2. 只有選項 C 完全包含於此區間。

   $$(\pi,3\pi/2)\subset(2\pi/3,5\pi/3)$$

C。

檢查與易錯點：僅與遞增區間部分重疊並不足夠。

1. 分解關於正弦的二次式。

   $$2\sin^2\theta+\sin\theta-1=(2\sin\theta-1)(\sin\theta+1)=0$$

2. 捨去 sinθ=−1，保留互補的兩角。

   $$\sin\theta=1/2\implies\theta=\pi/6,5\pi/6$$

A。

檢查與易錯點：不要遺漏第二象限的解。

1. 求 x²+x⁻²。

   $$x+x^{-1}=3\implies x^2+x^{-2}=9-2=7$$

2. 再平方。

   $$x^4+x^{-4}=7^2-2=47$$

B：47。

檢查與易錯點：x²·x⁻²=1，因此交叉項為 2。

1. 建立嚴格大小界。

   $$0<a<1/4<1/2<b<1,\quad2/7<1/3\implies c<-1$$

2. 按自變量絕對值排序。

   $$|c|>b>a>0\implies f(c)=f(|c|)>f(b)>f(a)$$

E。

檢查與易錯點：因 f 為偶函數，負自變量的函數值也可最大。

1. 兩種情況互不相交。

   $$N=\binom32\binom72+\binom33\binom71=63+7=70$$

2. 使用等可能樣本數。

   $$P=\frac{70}{\binom{10}4}=\frac{70}{210}=\frac13$$

概率為 1/3。

檢查與易錯點：抽取不放回，不能直接用二項分佈。

1. 把件數寫成和。

   $$X=I_1+I_2+I_3+I_4,\quad E(I_j)=3/10$$

2. 期望的線性性不需要獨立。

   $$E(X)=4(3/10)=6/5$$

期望件數為 6/5。

檢查與易錯點：期望件數不必是整數。

1. 求 β 的其餘三角比。

   $$\sin\beta=\frac{2\sqrt{13}}{13},\quad\tan\beta=2/3$$

2. 分母非零。

   $$\tan(\alpha+\beta)=\frac{1/5+2/3}{1-(1/5)(2/3)}=1$$

tan(α+β)=1。

檢查與易錯點：正切和角公式的分母是減號。

1. 此區間中正切為一的角只有 π/4。

   $$\alpha+\beta=\pi/4$$

2. 使用餘弦和角公式。

   $$\cos(\alpha+2\beta)=\frac{\sqrt2}2\left(\frac{3\sqrt{13}}{13}-\frac{2\sqrt{13}}{13}\right)=\frac{\sqrt{26}}{26}$$

√26/26。

檢查與易錯點：由正切推角度時必須考慮角度範圍。

1. 建立並分解方程。

   $$(3+d)^2=3(3+4d)\iff d(d-6)=0$$

2. 保留兩個有效公差。

   $$d=0\implies a_n=3;\quad d=6\implies a_n=6n-3$$

aₙ=3 或 aₙ=6n−3。

檢查與易錯點：常數數列同時可以是等差及等比數列。

1. 常數情況不可能滿足不等式。

   $$S_n=3n:\quad3n\ge12n+36\iff n\le-4$$

2. 遞增情況解二次不等式。

   $$S_n=3n^2,\quad n^2-4n-12=(n-6)(n+2)\ge0\implies n\ge6$$

aₙ=3 時不存在；aₙ=6n−3 時最小 n=6。

檢查與易錯點：只答 6 會遺漏另一個有效數列。

1. 3 至 7 之間距離和為 4，外側為 2|x−5|。

   $$|x-3|+|x-7|=\max(4,2|x-5|)$$

2. 要求距離和不超過 8。

   $$|x-5|\le4\iff1\le x\le9$$

x∈[1,9]。

檢查與易錯點：不等式包含等號，所以保留端點。

1. 化為二次式並找頂點。

   $$g(x)=2x^2+(a-10)x,\quad x_0=(10-a)/4$$

2. 6≤a≤14 時最小值在頂點。

   $$-\frac{(a-10)^2}{8}=-1\implies a=10\pm2\sqrt2$$

3. 在此範圍外最小值位於端點，而所得候選值皆不符分段條件。

   $$a<6:\ a-8=-1\implies a=7;\quad a>14:\ 12-a=-1\implies a=13$$

a=10±2√2。

檢查與易錯點：使用頂點最小值公式前，須確認頂點位於 [−1,1]。

1. 建立兩平方參數的關係。

   $$\frac{b^2}{a^2}=\frac52-1=\frac32$$

2. 利用點的條件求解。

   $$\frac8{a^2}-\frac9{(3/2)a^2}=1\implies a^2=2,\ b^2=3$$

x²/2−y²/3=1。

檢查與易錯點：雙曲線滿足 c²=a²+b²。

1. 代入直線並讀出根和及根積。

   $$x^2-4mx-2m^2-6=0,\quad x_1+x_2=4m,\quad x_1x_2=-2m^2-6$$

2. 加入內積條件。

   $$0=x_1x_2+(x_1+m)(x_2+m)=2(-2m^2-6)+4m^2+m^2=m^2-12$$

3. 兩個符號均有兩相異交點。

   $$m=\pm2\sqrt3,\quad\Delta=24m^2+24>0$$

m=±2√3。

檢查與易錯點：垂直條件應使用內積，並非斜率相等。