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學習・解釋・訂正

直線 y=x+m 與此雙曲線交於 P、Q，且 OP⊥OQ，求 m。

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

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專題 01

2024 JM01

垂直條件應使用內積，並非斜率相等。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 鞏固#獨立練習

直線 y=x+m 與此雙曲線交於 P、Q，且 OP⊥OQ，求 m。

\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{3}=1

官方試卷 · jm01-2024 · II.5(b) · PDF 4

官方原卷及參考答案 ↗ · 參考答案 PDF 頁 7

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

用韋達定理，毋須逐一求交點。

提示 2

互相垂直的位置向量內積為零。

完整解答

代入直線並讀出根和及根積。
$x^2-4mx-2m^2-6=0,\quad x_1+x_2=4m,\quad x_1x_2=-2m^2-6$
加入內積條件。
$0=x_1x_2+(x_1+m)(x_2+m)=2(-2m^2-6)+4m^2+m^2=m^2-12$
兩個符號均有兩相異交點。
$m=\pm2\sqrt3,\quad\Delta=24m^2+24>0$

m=±2√3。

檢查與易錯點：垂直條件應使用內積，並非斜率相等。

推理清單・自評／教師評核

以下為自編教學評核清單；官方分值以原卷為準。
代入直線並讀出根和及根積。
$x^2-4mx-2m^2-6=0,\quad x_1+x_2=4m,\quad x_1x_2=-2m^2-6$
加入內積條件。
$0=x_1x_2+(x_1+m)(x_2+m)=2(-2m^2-6)+4m^2+m^2=m^2-12$
兩個符號均有兩相異交點。
$m=\pm2\sqrt3,\quad\Delta=24m^2+24>0$

先思考，待同學準備好再展開提示。