同一 f 中，g(x)=xf(x) 在 [−1,1] 的最小值為 −1，求所有 a。

01 / 鞏固#獨立練習

官方試卷 · jm01-2024 · II.4(b) · PDF 4

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

此區間兩個絕對值內式皆為負。

提示 2

檢查二次函數頂點是否在區間內。

完整解答

化為二次式並找頂點。
$g(x)=2x^2+(a-10)x,\quad x_0=(10-a)/4$
6≤a≤14 時最小值在頂點。
$-\frac{(a-10)^2}{8}=-1\implies a=10\pm2\sqrt2$
在此範圍外最小值位於端點，而所得候選值皆不符分段條件。
$a<6:\ a-8=-1\implies a=7;\quad a>14:\ 12-a=-1\implies a=13$

a=10±2√2。

檢查與易錯點：使用頂點最小值公式前，須確認頂點位於 [−1,1]。

推理清單・自評／教師評核

以下為自編教學評核清單；官方分值以原卷為準。
化為二次式並找頂點。
$g(x)=2x^2+(a-10)x,\quad x_0=(10-a)/4$
6≤a≤14 時最小值在頂點。
$-\frac{(a-10)^2}{8}=-1\implies a=10\pm2\sqrt2$
在此範圍外最小值位於端點，而所得候選值皆不符分段條件。
$a<6:\ a-8=-1\implies a=7;\quad a>14:\ 12-a=-1\implies a=13$

先思考，待同學準備好再展開提示。

2024 JM01