2026 JM02

1. 按原圖頂點標記選取坐標。

   $$E=(0,0,0),\ C=(1,1,1),\ B=(1,0,1),\ D=(0,1,1),\ G=(1,1,0)$$

2. 設 M=(t,t,t)，使用垂直條件。

   $$(G-M)\cdot(1,1,1)=2-3t=0\implies M=\left(\frac23,\frac23,\frac23\right)$$

3. 三個三角形的三邊分別相等，故由 SSS 全等。

   $$CG=CB=CD=1,\quad CM=\frac1{\sqrt3},\quad MG=MB=MD=\sqrt{\frac23}$$

由 SSS 得 △CMG≅△CMB≅△CMD。

檢查與易錯點：圖形不按比例，等長須由立方體性質或坐標證明。

1. 三個不共線頂點確定平面。

   $$BDG:\ x+y+z=2,\quad\mathbf n=(1,1,1)$$

2. M 滿足平面方程，且 CM 平行法向量。

   $$\frac23+\frac23+\frac23=2,\quad\overrightarrow{CM}=-\frac13(1,1,1)$$

M∈平面 BDG，且 CM⊥平面 BDG。

檢查與易錯點：只垂直於一條直線，不能證明垂直於整個平面。

1. M 在底面內且與三點等距，故底圓半徑為 MG。

   $$r^2=MG^2=\frac23$$

2. 體對角線垂直穿過底圓圓心。

   $$h=EM=\sqrt{3\left(\frac23\right)^2}=\frac{2\sqrt3}3$$

3. 使用圓錐體積公式。

   $$V=\frac13\pi r^2h=\frac13\pi\frac23\frac{2\sqrt3}3=\frac{4\sqrt3\pi}{27}$$

4√3π/27 立方單位。

檢查與易錯點：EC 是整條體對角線，不是圓錐高度 EM。

1. 對三次式求導。

   $$f'(x)=3x^2-2x-1$$

2. 對二次導函數再求導。

   $$f''(x)=6x-2$$

f′=3x²−2x−1；f″=6x−2。

檢查與易錯點：−x 的導數為 −1。

1. 找出駐點。

   $$f'(x)=(3x+1)(x-1)=0\iff x=-\frac13,1$$

2. 導數符號依次為 +、−、+，故先極大後極小。

   $$f\left(-\frac13\right)=\frac5{27},\quad f(1)=-1$$

x=−1/3 處局部極大值 5/27；x=1 處局部極小值 −1。

檢查與易錯點：駐點的 x 坐標不是極值本身。

1. 二階導數在左侧為負、右侧為正。

   $$f''(x)=6x-2=0\iff x=\frac13$$

2. 代入原函數，而不是導函數。

   $$f\left(\frac13\right)=\frac1{27}-\frac19-\frac13=-\frac{11}{27}$$

拐點為 (1/3,−11/27)。

檢查與易錯點：若凹凸性沒有改變，僅 f″=0 不能保證是拐點。

1. 分解以找出三個 x 軸交點。

   $$f(x)=x(x^2-x-1),\quad x=0,\ \frac{1-\sqrt5}2,\ \frac{1+\sqrt5}2$$

2. 標出閉端點及前面求得的關鍵點。

   $$f(-2)=-10,\ f(2)=2,\quad\left(-\frac13,\frac5{27}\right),\ (1,-1),\ \left(\frac13,-\frac{11}{27}\right)$$

3. 遞增至 x=−1/3，遞減至 x=1，再遞增；在 x=1/3 改變凹凸性。

下方自繪圖展示 [−2,2] 上的完整圖像。

檢查與易錯點：圖像答案不應延伸至指定區間以外。

1. 把新曲線寫成偶函數。

   $$y=-|x|^3+x^2+|x|$$

2. 使用原圖右半部及其鏡像；±1 處有峰頂，原點有尖角。

   $$(0,0),\ (\pm1,1),\ (\pm2,-2),\quad x\text{-intercepts}:0,\ \pm\frac{1+\sqrt5}2$$

圖像為偶對稱，極大點為 (±1,1)，端點為 (±2,−2)。

檢查與易錯點：f(|x|) 複製的是原來右半部，而不是左半部。

1. 求出三個交點的橫坐標。

   $$f(x)-x=x(x-2)(x+1)=0\implies x=-1,0,2$$

2. 在兩區間分別積分「上減下」。

   $$A=\int_{-1}^0(x^3-x^2-2x)\,dx+\int_0^2(-x^3+x^2+2x)\,dx$$

3. 計算兩個正面積並相加。

   $$A=\left[\frac{x^4}4-\frac{x^3}3-x^2\right]_{-1}^0+\left[-\frac{x^4}4+\frac{x^3}3+x^2\right]_0^2=\frac5{12}+\frac83=\frac{37}{12}$$

37/12 平方單位。

檢查與易錯點：只在 [−1,2] 作一個有符號積分會抵消部分面積。

1. 求焦點參數與圓的方程。

   $$a^2=9-4=5,\quad a=\sqrt5,\quad x^2+y^2=5$$

2. 消去 y² 並取第一象限的正坐標。

   $$4x^2+9y^2=36,\quad5x^2=9,\quad Q=\left(\frac{3\sqrt5}5,\frac{4\sqrt5}5\right)$$

a=√5；Q=(3√5/5,4√5/5)。

檢查與易錯點：本題 a 代表焦點至原點的距離，不是長半軸。

1. 求直線方程。

   $$m=-2,\quad y=-2x+2\sqrt5$$

2. 代入橢圓，選出另一根。

   $$5x^2-9\sqrt5x+18=0,\quad x_Q+x_M=\frac{9\sqrt5}5\implies x_M=\frac{6\sqrt5}5$$

3. 由直線方程求縱坐標。

   $$y_M=-\frac{2\sqrt5}5$$

M=(6√5/5,−2√5/5)。

檢查與易錯點：再次回答 Q 不符合另一個相異交點的要求。

1. 求兩斜率，並檢查射線方向的內積為正。

   $$m_{MQ}=-2,\quad m_{MF_1}=-\frac2{11},\quad\overrightarrow{MQ}\cdot\overrightarrow{MF_1}=9>0$$

2. 套用兩直線夾角的正切公式。

   $$\tan\angle QMF_1=\left|\frac{-2+2/11}{1+4/11}\right|=\frac43$$

tan∠QMF₁=4/3。

檢查與易錯點：斜率公式的絕對值給出銳直線角，仍須檢查題目指定的射線角。

1. 使用斜率 −2/11 及點 F₁。

   $$MF_1:\ 2x+11y+2\sqrt5=0$$

2. 代入 Q，再除以法向量的長度。

   $$d=\frac{|2(3\sqrt5/5)+11(4\sqrt5/5)+2\sqrt5|}{\sqrt{2^2+11^2}}=\frac{12\sqrt5}{5\sqrt5}=\frac{12}5$$

距離為 12/5。

檢查與易錯點：距離公式分母為 √(A²+B²)，不是 A²+B²。

1. 判別式為 −1。

   $$z=\frac{\sqrt3\pm i}{2}$$

2. 辨認單位圓上的餘弦及正弦坐標。

   $$z=\cos\left(\pm\frac\pi6\right)+i\sin\left(\pm\frac\pi6\right)$$

幅角為 π/6、−π/6，模均為一。

檢查與易錯點：± 改變角度時，正弦項也要跟着改變。

1. 把二次方程結果用於 z²。

   $$z^2=e^{i\pi/6}\ \text{or}\ e^{-i\pi/6}$$

2. 容許幅角增加整周後再除以二，最後化至主幅角區間。

   $$z=\cos\theta+i\sin\theta,\quad\theta\in\left\{\frac\pi{12},-\frac\pi{12},\frac{11\pi}{12},-\frac{11\pi}{12}\right\}$$

四根的幅角為 ±π/12、±11π/12。

檢查與易錯點：只把兩個主幅角除以二會漏掉兩根。

1. 幅角為 ±π/12 的一對，利用根和根積得第一因式。

   $$(z-e^{i\pi/12})(z-e^{-i\pi/12})=z^2-2z\cos\frac\pi{12}+1$$

2. 另一對的餘弦為 −cos(π/12)。兩個首一因式相乘即涵蓋全部四根。

   $$z^4-\sqrt3z^2+1=\left(z^2-2z\cos\frac\pi{12}+1\right)\left(z^2+2z\cos\frac\pi{12}+1\right)$$

所求乘積由共軛根配對得出。

檢查與易錯點：不要預先假定下一小題才要證明的半角值。

1. 設 c=cos(π/12)，乘積的中間係數如下。

   $$(z^2+1)^2-4c^2z^2=z^4+(2-4c^2)z^2+1$$

2. 比較係數，因 π/12 為銳角，故取正平方根。

   $$2-4c^2=-\sqrt3\implies c=\frac{\sqrt{2+\sqrt3}}2$$

cos(π/12)=√(2+√3)/2。

檢查與易錯點：外層平方根須包含整個 2+√3。

1. 行相減後，從後兩行提出 b−a、c−a。

   $$D=(b-a)(c-a)\big[(c^3+ac^2+a^2c+a^3)-(b^3+ab^2+a^2b+a^3)\big]$$

2. 括號再提出 c−b；這個多項式恆等式在參數重合時仍成立。

   $$D=(b-a)(c-a)(c-b)(a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc)$$

(b−a)(c−a)(c−b)(a²+b²+c²+ab+ac+bc)。

檢查與易錯點：倒轉一個差會改變符號，須與行次序一致。

1. 消元得 x、z 的關係。

   $$2x-2z=2\implies x=z+1$$

2. 令 z=t，再由第一式求 y。

   $$(x,y,z)=(1+t,1-2t,t),\quad t\in\mathbb R$$

(x,y,z)=(1+t,1−2t,t)，t∈ℝ。

檢查與易錯點：三個未知數的兩個獨立方程會留下一個自由參數。

1. 代入後展開。

   $$a(1+t)^2+b(1-2t)^2+ct^2=(a+4b+c)t^2+(2a-4b)t+(a+b)$$

2. 與常數 3 比較係數並求解。

   $$a+4b+c=0,\quad2a-4b=0,\quad a+b=3\implies(a,b,c)=(2,1,-6)$$

a=2，b=1，c=−6。

檢查與易錯點：要求每一組解都成立，不能只檢查一個參數值。

1. 代入並解一元二次方程。

   $$(1+t)^2+(1-2t)^2+t^2=3\iff6t^2-2t-1=0\implies t=\frac{1\pm\sqrt7}6$$

2. x、z 使用相同符號，y 使用相反符號。

   $$(x,y,z)=\left(\frac{7\pm\sqrt7}6,\frac{4\mp2\sqrt7}6,\frac{1\pm\sqrt7}6\right)$$

恰有兩組解，分別取一致的上方及下方符號。

檢查與易錯點：± 的選擇互相關聯，不會產生八組任意組合。