學習・解釋・訂正

空間直線、平面、球及外積

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

T06高三理組數學思維本(2026).pdf · Spatial analytic geometry; also PDF10–11 cross product · PDF 15 / 印刷頁 14

先重溫：空間向量的應用

專題 01

空間直線、平面、球及外積

建立空間方程，運用法向量、外積及方向檢驗。

學完之後，你能解釋

建立空間方程，運用法向量、外積及方向檢驗。
在新情境中說明方法的理由，並檢查適用條件。

模型或定義

建立空間方程，運用法向量、外積及方向檢驗。

\ell:P+su;\quad\Pi:n\cdot(X-P)=0

適用條件

方向及法向量須非零；方向平行不能證明兩條空間直線重合。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：兩條不平行的空間直線可能沒有交點嗎？

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

空間向量 v=(2,1,1)；模長=2.4495；v·(2,1,3)=8。圖像只顯示 xy 投影，不是完整空間長度。

解釋：比較兩個符合條件的情況，利用所述模型解釋結果差異。

遷移：用全部三個座標方程區分相交及異面直線。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

求通過 (t,0,0)、法向量 (1,2,3) 的平面。

t=2

方向及法向量須非零；方向平行不能證明兩條空間直線重合。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

使用此中間關係式。

n·(X−P)=0

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$(x-2)+2y+3z=0$
點決定常數，法向量決定係數。

所求關係或結論如下。

x+2y+3z=2

檢查與易錯點：點決定常數，法向量決定係數。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

計算 u×v。

u=(3,0,0),\quad v=(0,2,0)

方向及法向量須非零；方向平行不能證明兩條空間直線重合。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

使用帶方向的行列式公式。

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$u\times v=(0,0,6)$
交換次序會改變外積正負號。

所求關係或結論如下。

u\times v=(0,0,6)

檢查與易錯點：交換次序會改變外積正負號。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

分類兩條空間直線的位置關係。

\ell_1=(s,0,0),\quad\ell_2=(0,u,4)

方向及法向量須非零；方向平行不能證明兩條空間直線重合。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

令全部三個座標分別相等。

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$s=0,\ u=0,\ 0=4\text{ impossible}$
方向不平行，但不同 z 層使它們不能相交。

所求關係或結論如下。

\text{skew lines}

檢查與易錯點：方向不平行，但不同 z 層使它們不能相交。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

求通過 (t,0,0)、法向量 (1,2,3) 的平面。

t=5

方向及法向量須非零；方向平行不能證明兩條空間直線重合。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

使用此中間關係式。

n·(X−P)=0

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$(x-5)+2y+3z=0$
點決定常數，法向量決定係數。

所求關係或結論如下。

x+2y+3z=5

檢查與易錯點：點決定常數，法向量決定係數。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

求球的半徑。

(x-1)^2+(y+2)^2+(z-6)^2=9

方向及法向量須非零；方向平行不能證明兩條空間直線重合。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

使用此中間關係式。

r²=9

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$r=3$
球使用三個座標位移平方。

所求值為 3。

檢查與易錯點：球使用三個座標位移平方。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

求通過 P 且方向為 u 的直線。

P=(1,2,7),\quad u=(2,-1,3)

方向及法向量須非零；方向平行不能證明兩條空間直線重合。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

使用此中間關係式。

X=P+su

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$x=1+2s,\ y=2-s,\ z=7+3s$
同一參數同時控制全部座標。

所求關係或結論如下。

(x,y,z)=(1,2,7)+s(2,-1,3)

檢查與易錯點：同一參數同時控制全部座標。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

直線 X=(0,0,t)+s(1,0,−1) 與 z=0 相交。求 s。

t=8

方向及法向量須非零；方向平行不能證明兩條空間直線重合。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

使用此中間關係式。

z=t−s=0

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$s=8$
須把所得參數代入每個座標才得到交點。

所求值為 8。

檢查與易錯點：須把所得參數代入每個座標才得到交點。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

直線 X=(0,0,t)+s(1,0,−1) 與 z=0 相交。求 s。

t=9

方向及法向量須非零；方向平行不能證明兩條空間直線重合。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

使用此中間關係式。

z=t−s=0

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$s=9$
須把所得參數代入每個座標才得到交點。

所求值為 9。

檢查與易錯點：須把所得參數代入每個座標才得到交點。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

計算 u×v。

u=(10,0,0),\quad v=(0,2,0)

方向及法向量須非零；方向平行不能證明兩條空間直線重合。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

使用帶方向的行列式公式。

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$u\times v=(0,0,20)$
交換次序會改變外積正負號。

所求關係或結論如下。

u\times v=(0,0,20)

檢查與易錯點：交換次序會改變外積正負號。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

求 u、v 張成的平行四邊形面積。

u=(11,0,0),\quad v=(0,2,0)

方向及法向量須非零；方向平行不能證明兩條空間直線重合。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

面積＝|u×v|。

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$A=|(0,0,22)|=22$
取長度消去方向，給出非負面積。

所求值為 22。

檢查與易錯點：取長度消去方向，給出非負面積。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

分類兩條空間直線的位置關係。

\ell_1=(s,0,0),\quad\ell_2=(0,u,12)

方向及法向量須非零；方向平行不能證明兩條空間直線重合。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

令全部三個座標分別相等。

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$s=0,\ u=0,\ 0=12\text{ impossible}$
方向不平行，但不同 z 層使它們不能相交。

所求關係或結論如下。

\text{skew lines}

檢查與易錯點：方向不平行，但不同 z 層使它們不能相交。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

求 u、v 張成的平行四邊形面積。

u=(13,0,0),\quad v=(0,2,0)

方向及法向量須非零；方向平行不能證明兩條空間直線重合。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

面積＝|u×v|。

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$A=|(0,0,26)|=26$
取長度消去方向，給出非負面積。

所求值為 26。

檢查與易錯點：取長度消去方向，給出非負面積。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

分類兩條空間直線的位置關係。

\ell_1=(s,0,0),\quad\ell_2=(0,u,14)

方向及法向量須非零；方向平行不能證明兩條空間直線重合。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

令全部三個座標分別相等。

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$s=0,\ u=0,\ 0=14\text{ impossible}$
方向不平行，但不同 z 層使它們不能相交。

所求關係或結論如下。

\text{skew lines}

檢查與易錯點：方向不平行，但不同 z 層使它們不能相交。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

課末檢核與訂正

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教師備課與評核

提問順序

建立空間方程，運用法向量、外積及方向檢驗。
「空間直線、平面、球及外積」中哪一個條件不可缺少？
兩條不平行的空間直線可能沒有交點嗎？

板書重點

模型或定義：建立空間方程，運用法向量、外積及方向檢驗。
$\ell:P+su;\quad\Pi:n\cdot(X-P)=0$
適用條件：方向及法向量須非零；方向平行不能證明兩條空間直線重合。

預期想法

不平行的空間直線可能異面而不相交。

評核清單

1分：選取正確表示法及條件。
1分：建立中間關係式。
1分：完成連貫的計算或證明。
1分：解釋並檢查結論。