學習・解釋・訂正

積分、面積及校本延伸

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

2027 JM02 考試大綱 · 6. Basic calculus: integrals and area · PDF 2 / 印刷頁 2

先重溫：導數的運算

專題 01

積分、面積及校本延伸

求原函數及定積分，區分有向累積與幾何面積。

學完之後，你能解釋

求原函數及定積分，區分有向累積與幾何面積。
在新情境中說明方法的理由，並檢查適用條件。

模型或定義

求原函數及定積分，區分有向累積與幾何面積。

\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)

適用條件

不定積分須有任意常數；計算面積須在正負號改變處分段。旋轉體積屬校本延伸（T06 PDF6–10）。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：有向積分為零時，總面積仍可為正嗎？

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

y=ax²；在 x=t 的切線斜率=2；從 0 至 t 的定積分=0.3333。定積分為有向量，可能為負。

解釋：比較兩個符合條件的情況，利用所述模型解釋結果差異。

遷移：比較對稱區間上 x 及 |x| 的積分。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

求 tx² 的所有原函數。

t=2

不定積分須有任意常數；計算面積須在正負號改變處分段。旋轉體積屬校本延伸（T06 PDF6–10）。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

提高次方，並除以新的指數。

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$d(2x^3/3+C)/dx=2x^2$
求導檢查可確認指數及常數。

所求關係或結論如下。

2x^3/3+C

檢查與易錯點：求導檢查可確認指數及常數。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

求 0≤x≤t 上 y=t 與 y=x 之間面積。

t=3

不定積分須有任意常數；計算面積須在正負號改變處分段。旋轉體積屬校本延伸（T06 PDF6–10）。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

使用此中間關係式。

A=\int_0^t(t-x)dx

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$A=[3x-x^2/2]_0^{3}=9/2$
此區間中，上方函數減下方函數均非負。

所求值為 4.5。

檢查與易錯點：此區間中，上方函數減下方函數均非負。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

校本延伸：把 y=x、0≤x≤t 繞 x 軸旋轉。用圓盤模型求體積。

t=4

不定積分須有任意常數；計算面積須在正負號改變處分段。旋轉體積屬校本延伸（T06 PDF6–10）。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

使用此中間關係式。

V=\pi\int_0^t[y(x)]^2dx

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$V=\pi[x^3/3]_0^{4}=64\pi/3$
圓盤面積使用半徑平方；只積分 y 得到面積而非體積。

所求值為 67.0206432766。

檢查與易錯點：圓盤面積使用半徑平方；只積分 y 得到面積而非體積。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

求 tx² 的所有原函數。

t=5

不定積分須有任意常數；計算面積須在正負號改變處分段。旋轉體積屬校本延伸（T06 PDF6–10）。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

提高次方，並除以新的指數。

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$d(5x^3/3+C)/dx=5x^2$
求導檢查可確認指數及常數。

所求關係或結論如下。

5x^3/3+C

檢查與易錯點：求導檢查可確認指數及常數。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

計算定積分。

\int_0^{6}2x\,dx

不定積分須有任意常數；計算面積須在正負號改變處分段。旋轉體積屬校本延伸（T06 PDF6–10）。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

使用此中間關係式。

F(x)=x^2

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$F(6)-F(0)=36$
定積分為數值，不保留任意積分常數。

所求值為 36。

檢查與易錯點：定積分為數值，不保留任意積分常數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

計算有向積分。

\int_{-7}^7x\,dx

不定積分須有任意常數；計算面積須在正負號改變處分段。旋轉體積屬校本延伸（T06 PDF6–10）。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

使用奇函數對稱性或原函數。

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$[x^2/2]_{-7}^7=0$
兩部分的有向貢獻相消。

所求值為 0。

檢查與易錯點：兩部分的有向貢獻相消。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

求 [−t,t] 上 y=x 與 x 軸之間的幾何面積。

t=8

不定積分須有任意常數；計算面積須在正負號改變處分段。旋轉體積屬校本延伸（T06 PDF6–10）。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

使用此中間關係式。

Area=\int_{-t}^0(-x)dx+\int_0^txdx

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$A=64/2+64/2=64$
面積使用被積函數的絕對值。

所求值為 64。

檢查與易錯點：面積使用被積函數的絕對值。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

求 [−t,t] 上 y=x 與 x 軸之間的幾何面積。

t=9

不定積分須有任意常數；計算面積須在正負號改變處分段。旋轉體積屬校本延伸（T06 PDF6–10）。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

使用此中間關係式。

Area=\int_{-t}^0(-x)dx+\int_0^txdx

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$A=81/2+81/2=81$
面積使用被積函數的絕對值。

所求值為 81。

檢查與易錯點：面積使用被積函數的絕對值。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

求 0≤x≤t 上 y=t 與 y=x 之間面積。

t=10

不定積分須有任意常數；計算面積須在正負號改變處分段。旋轉體積屬校本延伸（T06 PDF6–10）。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

使用此中間關係式。

A=\int_0^t(t-x)dx

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$A=[10x-x^2/2]_0^{10}=100/2$
此區間中，上方函數減下方函數均非負。

所求值為 50。

檢查與易錯點：此區間中，上方函數減下方函數均非負。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

F′(x)=2x 且 F(0)=t。求 F(2)。

t=11

不定積分須有任意常數；計算面積須在正負號改變處分段。旋轉體積屬校本延伸（T06 PDF6–10）。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

使用此中間關係式。

F(x)=x²+C

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$C=11$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$F(2)=4+11=15$
初始條件決定積分常數。

所求值為 15。

檢查與易錯點：初始條件決定積分常數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

校本延伸：把 y=x、0≤x≤t 繞 x 軸旋轉。用圓盤模型求體積。

t=12

不定積分須有任意常數；計算面積須在正負號改變處分段。旋轉體積屬校本延伸（T06 PDF6–10）。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

使用此中間關係式。

V=\pi\int_0^t[y(x)]^2dx

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$V=\pi[x^3/3]_0^{12}=1728\pi/3$
圓盤面積使用半徑平方；只積分 y 得到面積而非體積。

所求值為 1809.55736847。

檢查與易錯點：圓盤面積使用半徑平方；只積分 y 得到面積而非體積。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

F′(x)=2x 且 F(0)=t。求 F(2)。

t=13

不定積分須有任意常數；計算面積須在正負號改變處分段。旋轉體積屬校本延伸（T06 PDF6–10）。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

使用此中間關係式。

F(x)=x²+C

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$C=13$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$F(2)=4+13=17$
初始條件決定積分常數。

所求值為 17。

檢查與易錯點：初始條件決定積分常數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

校本延伸：把 y=x、0≤x≤t 繞 x 軸旋轉。用圓盤模型求體積。

t=14

不定積分須有任意常數；計算面積須在正負號改變處分段。旋轉體積屬校本延伸（T06 PDF6–10）。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

使用此中間關係式。

V=\pi\int_0^t[y(x)]^2dx

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$V=\pi[x^3/3]_0^{14}=2744\pi/3$
圓盤面積使用半徑平方；只積分 y 得到面積而非體積。

所求值為 2873.51008048。

檢查與易錯點：圓盤面積使用半徑平方；只積分 y 得到面積而非體積。

先思考，待同學準備好再展開提示。

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

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教師備課與評核

提問順序

求原函數及定積分，區分有向累積與幾何面積。
「積分、面積及校本延伸」中哪一個條件不可缺少？
有向積分為零時，總面積仍可為正嗎？

板書重點

模型或定義：求原函數及定積分，區分有向累積與幾何面積。
$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$
適用條件：不定積分須有任意常數；計算面積須在正負號改變處分段。旋轉體積屬校本延伸（T06 PDF6–10）。

預期想法

定積分可為負，但幾何面積不能為負。

評核清單

1分：選取正確表示法及條件。
1分：建立中間關係式。
1分：完成連貫的計算或證明。
1分：解釋並檢查結論。