求三次曲線與 y=x 之間兩個區域的總面積。

01 / 鞏固#獨立練習

f(x)=x^3-x^2-x

官方試卷 · jm02-2026 · 2(b) · PDF 4

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

解 f(x)=x 找出所有邊界。

提示 2

位於上方的曲線在 x=0 改變。

完整解答

求出三個交點的橫坐標。
$f(x)-x=x(x-2)(x+1)=0\implies x=-1,0,2$
在兩區間分別積分「上減下」。
$A=\int_{-1}^0(x^3-x^2-2x)\,dx+\int_0^2(-x^3+x^2+2x)\,dx$
計算兩個正面積並相加。
$A=\left[\frac{x^4}4-\frac{x^3}3-x^2\right]_{-1}^0+\left[-\frac{x^4}4+\frac{x^3}3+x^2\right]_0^2=\frac5{12}+\frac83=\frac{37}{12}$

37/12 平方單位。

檢查與易錯點：只在 [−1,2] 作一個有符號積分會抵消部分面積。

推理清單・自評／教師評核

以下為自編教學評核清單；官方分值以原卷為準。
求出三個交點的橫坐標。
$f(x)-x=x(x-2)(x+1)=0\implies x=-1,0,2$
在兩區間分別積分「上減下」。
$A=\int_{-1}^0(x^3-x^2-2x)\,dx+\int_0^2(-x^3+x^2+2x)\,dx$
計算兩個正面積並相加。
$A=\left[\frac{x^4}4-\frac{x^3}3-x^2\right]_{-1}^0+\left[-\frac{x^4}4+\frac{x^3}3+x^2\right]_0^2=\frac5{12}+\frac83=\frac{37}{12}$

先思考，待同學準備好再展開提示。

2026 JM02