Kenneth Cheng數學建模
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學習・解釋・訂正

複數的四則運算

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高一必修 第二册(A版).pdf · 7.2 · PDF 82 / 印刷頁 75

先重溫：複數的概念

專題 01

複數的四則運算

透過定義、對照例子及有理據的應用，掌握複數的四則運算。

學完之後，你能解釋

  • 連結複數的四則運算的幾何與代數表示。
  • 連結不同表示法，說明每步理由，並處理邊界情況。
  • 能解釋解法，並把概念用於改變了的情境。

乘法

按代數展開，再把 i² 換成 −1。

除法

共軛把非零複數分母轉成正的模平方。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：計算前，預測「複數的四則運算」的一項定義條件改變後，結論會怎樣改變，並記錄理由。

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

z=2+(1)i；模長=2.2361；幅角=0.4636 弧度（零的幅角未定義）。

z=2+(1)i；模長=2.2361；幅角=0.4636 弧度（零的幅角未定義）。

解釋：比較兩個符合條件的例子及一個邊界或不符合條件的例子，利用所述定義解釋差異。

遷移：自擬新例子及一個容易令人信服的錯誤解法，再指出缺漏條件並修正。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

求乘積的實部。

(2+i)(2−i)(2+i)(2-i)
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
展開時使用 i²=−1，分母含複數時乘共軛。
提示 2
i(−i) 等於 +1。
完整解答

  1. 展開時使用 i²=−1，分母含複數時乘共軛。

  2. 計算或化簡此關係式。

    (2+i)(2−i)=5+0i(2+i)(2-i)=5+0i

  3. 把實數項與 i 的係數分開。

所求值為 5。

檢查與易錯點：把實數項與 i 的係數分開。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

化簡商。

2+2i1+i\frac{2+2i}{1+i}
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
展開時使用 i²=−1，分母含複數時乘共軛。
提示 2
把分子因式分解。
完整解答

  1. 展開時使用 i²=−1，分母含複數時乘共軛。

  2. 計算或化簡此關係式。

    2(1+i)1+i=2\frac{2(1+i)}{1+i}=2

  3. 1+i 非零，所以可以約去。

2。

檢查與易錯點：1+i 非零，所以可以約去。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

化簡總和並解釋約去。

1+i+i2+i31+i+i^2+i^3
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
展開時使用 i²=−1，分母含複數時乘共軛。
提示 2
把 i²、i³ 換成基本值。
完整解答

  1. 展開時使用 i²=−1，分母含複數時乘共軛。

  2. 計算或化簡此關係式。

    1+i−1−i=01+i-1-i=0

  3. 單位圓上四點以兩對相反點抵消。

所求值為 0。

檢查與易錯點：單位圓上四點以兩對相反點抵消。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

求乘積的實部。

(3+i)(2−i)(3+i)(2-i)
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
展開時使用 i²=−1，分母含複數時乘共軛。
提示 2
i(−i) 等於 +1。
完整解答

  1. 展開時使用 i²=−1，分母含複數時乘共軛。

  2. 計算或化簡此關係式。

    (3+i)(2−i)=7+−1i(3+i)(2-i)=7+-1i

  3. 把實數項與 i 的係數分開。

所求值為 7。

檢查與易錯點：把實數項與 i 的係數分開。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

化簡商。

3+3i1+i\frac{3+3i}{1+i}
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
展開時使用 i²=−1，分母含複數時乘共軛。
提示 2
把分子因式分解。
完整解答

  1. 展開時使用 i²=−1，分母含複數時乘共軛。

  2. 計算或化簡此關係式。

    3(1+i)1+i=3\frac{3(1+i)}{1+i}=3

  3. 1+i 非零，所以可以約去。

3。

檢查與易錯點：1+i 非零，所以可以約去。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

計算 z 與其共軛的乘積。

z=3+2iz=3+2i
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
展開時使用 i²=−1，分母含複數時乘共軛。
提示 2
使用平方差公式。
完整解答

  1. 展開時使用 i²=−1，分母含複數時乘共軛。

  2. 計算或化簡此關係式。

    zz‾=(3+2i)(3−2i)=9+4z\overline z=(3+2i)(3-2i)=9+4

  3. 乘積等於 |z|²，為非負實數。

所求值為 13。

檢查與易錯點：乘積等於 |z|²，為非負實數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

計算冪。

i14i^{14}
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
展開時使用 i²=−1，分母含複數時乘共軛。
提示 2
i 的冪每四次重複。
完整解答

  1. 展開時使用 i²=−1，分母含複數時乘共軛。

  2. 計算或化簡此關係式。

    i14=(i4)3i2=−1i^{14}=(i^4)^{3}i^2=-1

  3. 把指數按模四化簡。

所求值為 -1。

檢查與易錯點：把指數按模四化簡。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

在複數範圍解二次方程。

z2−6z+10=0z^2-6z+10=0
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
展開時使用 i²=−1，分母含複數時乘共軛。
提示 2
配方。
完整解答

  1. 展開時使用 i²=−1，分母含複數時乘共軛。

  2. 計算或化簡此關係式。

    (z−3)2=−1⇒z=3±i(z-3)^2=-1\Rightarrow z=3±i

  3. 兩根代入原多項式均得零。

z=3±i。

檢查與易錯點：兩根代入原多項式均得零。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

求倒數的虛部。

13+i\frac1{3+i}
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
展開時使用 i²=−1，分母含複數時乘共軛。
提示 2
分子分母同乘共軛。
完整解答

  1. 展開時使用 i²=−1，分母含複數時乘共軛。

  2. 計算或化簡此關係式。

    13+i=3−i10\frac1{3+i}=\frac{3-i}{10}

  3. 正分母為模的平方。

所求值為 -0.1。

檢查與易錯點：正分母為模的平方。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

解釋實係數多項式有複根時，其共軛亦為根。

p(z)=0,p∈R[z]p(z)=0,\quad p\in\mathbb R[z]
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
共軛保留和與乘積。
提示 2
實係數在取共軛後不變。
完整解答

  1. 共軛保留和與乘積。

  2. 計算或化簡此關係式。

    p(z‾)=p(z)‾=0p(\overline z)=\overline{p(z)}=0

  3. 實係數假設不可省略。

每項取共軛：p(共軛 z)=p(z) 的共軛=0。

檢查與易錯點：實係數假設不可省略。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

求乘積的實部。

(4+i)(2−i)(4+i)(2-i)
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
展開時使用 i²=−1，分母含複數時乘共軛。
提示 2
i(−i) 等於 +1。
完整解答

  1. 展開時使用 i²=−1，分母含複數時乘共軛。

  2. 計算或化簡此關係式。

    (4+i)(2−i)=9+−2i(4+i)(2-i)=9+-2i

  3. 把實數項與 i 的係數分開。

所求值為 9。

檢查與易錯點：把實數項與 i 的係數分開。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

化簡商。

4+4i1+i\frac{4+4i}{1+i}
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
展開時使用 i²=−1，分母含複數時乘共軛。
提示 2
把分子因式分解。
完整解答

  1. 展開時使用 i²=−1，分母含複數時乘共軛。

  2. 計算或化簡此關係式。

    4(1+i)1+i=4\frac{4(1+i)}{1+i}=4

  3. 1+i 非零，所以可以約去。

4。

檢查與易錯點：1+i 非零，所以可以約去。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

計算 z 與其共軛的乘積。

z=4+2iz=4+2i
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
展開時使用 i²=−1，分母含複數時乘共軛。
提示 2
使用平方差公式。
完整解答

  1. 展開時使用 i²=−1，分母含複數時乘共軛。

  2. 計算或化簡此關係式。

    zz‾=(4+2i)(4−2i)=16+4z\overline z=(4+2i)(4-2i)=16+4

  3. 乘積等於 |z|²，為非負實數。

所求值為 20。

檢查與易錯點：乘積等於 |z|²，為非負實數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

專注一道題目

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

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    選擇需要重溫的補底知識 ↗

    教師備課與評核

    提問順序

    • 使用「複數的四則運算」的主要法則前，須滿足甚麼條件？
    • 哪一種表示法能使此題較易處理？為甚麼？
    • 改變一項假設後，原結論還成立嗎？

    板書重點

    • 連結複數的四則運算的幾何與代數表示。
    • 乘法：按代數展開，再把 i² 換成 −1。
    • 除法：共軛把非零複數分母轉成正的模平方。
    • 總結：條件 → 表示 → 推理 → 檢驗。

    預期想法

    • 預期理由：按代數展開，再把 i² 換成 −1。
    • 預期理由：共軛把非零複數分母轉成正的模平方。
    • 預期修正：不可漏掉 i² 產生的負號。

    評核清單

    • 1：辨識已知條件及所求。
    • 1：選取合適定義、表示或方法。
    • 1：推理連貫且正確。
    • 1：檢驗條件並解釋結果。

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