代數形式
a+bi 的實部及虛部均為實數係數。
學習・解釋・訂正
複數的概念
先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。
高一必修 第二册(A版).pdf · 7.1 · PDF 75 / 印刷頁 68
先重溫：平面向量的應用
專題 01
複數的概念
透過定義、對照例子及有理據的應用，掌握複數的概念。
學完之後，你能解釋
- 連結複數的概念的幾何與代數表示。
- 連結不同表示法，說明每步理由，並處理邊界情況。
- 能解釋解法，並把概念用於改變了的情境。
複平面
共軛沿實軸反射；模是距原點距離。
預測 → 操作 → 解釋 → 遷移
先留下預測，再探索關係。
課節思考：計算前，預測「複數的概念」的一項定義條件改變後，結論會怎樣改變，並記錄理由。
模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。
z=2+(1)i；模長=2.2361；幅角=0.4636 弧度（零的幅角未定義）。
解釋：比較兩個符合條件的例子及一個邊界或不符合條件的例子，利用所述定義解釋差異。
遷移：自擬新例子及一個容易令人信服的錯誤解法，再指出缺漏條件並修正。
試一試，把思路寫下來。
每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。
求虛部。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
使用 z=a+bi，a、b 為實數且 i²=−1，區分部分與項。
提示 2
虛部是 i 前的實數係數。
完整解答
使用 z=a+bi，a、b 為實數且 i²=−1，區分部分與項。
計算或化簡此關係式。
虛部不是整項 bi。
所求值為 -4。
檢查與易錯點：虛部不是整項 bi。
先思考，待同學準備好再展開提示。
求 m 使複數為實數。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
使用 z=a+bi，a、b 為實數且 i²=−1，區分部分與項。
提示 2
虛部零當且僅當複數為實數。
完整解答
使用 z=a+bi，a、b 為實數且 i²=−1，區分部分與項。
計算或化簡此關係式。
實部不必非零。
所求值為 2。
檢查與易錯點：實部不必非零。
先思考，待同學準備好再展開提示。
複數為零，求 a+b。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
使用 z=a+bi，a、b 為實數且 i²=−1，區分部分與項。
提示 2
實部與虛部均須為零。
完整解答
使用 z=a+bi，a、b 為實數且 i²=−1，區分部分與項。
計算或化簡此關係式。
只有一部分為零不足以令複數為零。
所求值為 0。
檢查與易錯點：只有一部分為零不足以令複數為零。
先思考，待同學準備好再展開提示。
求虛部。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
使用 z=a+bi，a、b 為實數且 i²=−1，區分部分與項。
提示 2
虛部是 i 前的實數係數。
完整解答
使用 z=a+bi，a、b 為實數且 i²=−1，區分部分與項。
計算或化簡此關係式。
虛部不是整項 bi。
所求值為 -5。
檢查與易錯點：虛部不是整項 bi。
先思考，待同學準備好再展開提示。
求 m 使複數為實數。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
使用 z=a+bi，a、b 為實數且 i²=−1，區分部分與項。
提示 2
虛部零當且僅當複數為實數。
完整解答
使用 z=a+bi，a、b 為實數且 i²=−1，區分部分與項。
計算或化簡此關係式。
實部不必非零。
所求值為 3。
檢查與易錯點：實部不必非零。
先思考，待同學準備好再展開提示。
求模。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
使用 z=a+bi，a、b 為實數且 i²=−1，區分部分與項。
提示 2
把 z 視為複平面上的點。
完整解答
使用 z=a+bi，a、b 為實數且 i²=−1，區分部分與項。
計算或化簡此關係式。
模是到原點的非負距離。
所求值為 15。
檢查與易錯點：模是到原點的非負距離。
先思考，待同學準備好再展開提示。
寫出共軛複數。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
使用 z=a+bi，a、b 為實數且 i²=−1，區分部分與項。
提示 2
把複平面點沿實軸反射。
完整解答
使用 z=a+bi，a、b 為實數且 i²=−1，區分部分與項。
計算或化簡此關係式。
只有虛數項變號。
3+3i。
檢查與易錯點：只有虛數項變號。
推理清單・自評／教師評核
- 寫出所用定義、條件或模型。
- 給出有效計算、證明或反例。
- 連同限制解釋結論。
先思考，待同學準備好再展開提示。
說出複平面點所在象限。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
使用 z=a+bi，a、b 為實數且 i²=−1，區分部分與項。
提示 2
把實部與虛部視為 x、y 坐標。
完整解答
使用 z=a+bi，a、b 為實數且 i²=−1，區分部分與項。
計算或化簡此關係式。
複數在平面有位置，但沒有與實數相同的相容全序。
第二象限。
檢查與易錯點：複數在平面有位置，但沒有與實數相同的相容全序。
推理清單・自評／教師評核
- 寫出所用定義、條件或模型。
- 給出有效計算、證明或反例。
- 連同限制解釋結論。
先思考，待同學準備好再展開提示。
在複數範圍求解。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
使用 z=a+bi，a、b 為實數且 i²=−1，區分部分與項。
提示 2
使用 i²=−1。
完整解答
使用 z=a+bi，a、b 為實數且 i²=−1，區分部分與項。
計算或化簡此關係式。
3>0，因此 3i 與 −3i 是兩個不同的根。
z=±3i。
檢查與易錯點：3>0，因此 3i 與 −3i 是兩個不同的根。
推理清單・自評／教師評核
- 寫出所用定義、條件或模型。
- 給出有效計算、證明或反例。
- 連同限制解釋結論。
先思考，待同學準備好再展開提示。
複數為零，求 a+b。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
使用 z=a+bi，a、b 為實數且 i²=−1，區分部分與項。
提示 2
實部與虛部均須為零。
完整解答
使用 z=a+bi，a、b 為實數且 i²=−1，區分部分與項。
計算或化簡此關係式。
只有一部分為零不足以令複數為零。
所求值為 1。
檢查與易錯點：只有一部分為零不足以令複數為零。
先思考，待同學準備好再展開提示。
求虛部。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
使用 z=a+bi，a、b 為實數且 i²=−1，區分部分與項。
提示 2
虛部是 i 前的實數係數。
完整解答
使用 z=a+bi，a、b 為實數且 i²=−1，區分部分與項。
計算或化簡此關係式。
虛部不是整項 bi。
所求值為 -6。
檢查與易錯點：虛部不是整項 bi。
先思考，待同學準備好再展開提示。
求 m 使複數為實數。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
使用 z=a+bi，a、b 為實數且 i²=−1，區分部分與項。
提示 2
虛部零當且僅當複數為實數。
完整解答
使用 z=a+bi，a、b 為實數且 i²=−1，區分部分與項。
計算或化簡此關係式。
實部不必非零。
所求值為 4。
檢查與易錯點：實部不必非零。
先思考，待同學準備好再展開提示。
求模。
- 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
使用 z=a+bi，a、b 為實數且 i²=−1，區分部分與項。
提示 2
把 z 視為複平面上的點。
完整解答
使用 z=a+bi，a、b 為實數且 i²=−1，區分部分與項。
計算或化簡此關係式。
模是到原點的非負距離。
所求值為 20。
檢查與易錯點：模是到原點的非負距離。
先思考，待同學準備好再展開提示。
課末檢核與訂正
回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。
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教師備課與評核
提問順序
- 使用「複數的概念」的主要法則前，須滿足甚麼條件？
- 哪一種表示法能使此題較易處理？為甚麼？
- 改變一項假設後，原結論還成立嗎？
板書重點
- 連結複數的概念的幾何與代數表示。
- 代數形式：a+bi 的實部及虛部均為實數係數。
- 複平面：共軛沿實軸反射；模是距原點距離。
- 總結：條件 → 表示 → 推理 → 檢驗。
預期想法
- 預期理由：a+bi 的實部及虛部均為實數係數。
- 預期理由：共軛沿實軸反射；模是距原點距離。
- 預期修正：a+bi 的虛部是 b，不是 bi。
評核清單
- 1：辨識已知條件及所求。
- 1：選取合適定義、表示或方法。
- 1：推理連貫且正確。
- 1：檢驗條件並解釋結果。