學習・解釋・訂正

矩陣、行列式及線性方程組

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

2027 JM02 考試大綱 · 3. Systems, matrices and determinants · PDF 2 / 印刷頁 2

專題 01

矩陣、行列式及線性方程組

矩陣加乘、使用行列式及解方程組，避免假設所有矩陣均可逆。

學完之後，你能解釋

矩陣加乘、使用行列式及解方程組，避免假設所有矩陣均可逆。
在新情境中說明方法的理由，並檢查適用條件。

模型或定義

矩陣加乘、使用行列式及解方程組，避免假設所有矩陣均可逆。

\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc

適用條件

矩陣乘法的內側維度須相同；方陣只有行列式非零時才有逆矩陣。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：AB、BA 均存在時，元素仍可能不同嗎？

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

A=[1,a;0,1]，B=[1,0;b,1]；AB=[3,1;2,1]，BA=[1,1;2,3]。圖中兩列向量屬於 M=[1,a;b,1]，行列式=-1，面積=|det M|。

解釋：比較兩個符合條件的情況，利用所述模型解釋結果差異。

遷移：以兩種次序比較剪切及座標投影。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

求 det A。

A=\begin{pmatrix}2&1\\2&3\end{pmatrix}

矩陣乘法的內側維度須相同；方陣只有行列式非零時才有逆矩陣。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

使用此中間關係式。

det A=ad-bc

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$det A=3(2)-2=4$
以正確相減次序計算兩條對角線乘積。

所求值為 4。

檢查與易錯點：以正確相減次序計算兩條對角線乘積。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

求三階三角矩陣的行列式。

A=\begin{pmatrix}3&1&2\\0&2&3\\0&0&4\end{pmatrix}

矩陣乘法的內側維度須相同；方陣只有行列式非零時才有逆矩陣。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

三角矩陣的行列式為對角元素乘積。

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$det A=3\cdot2\cdot4=24$
三角矩陣的非對角元素不改變行列式。

所求值為 24。

檢查與易錯點：三角矩陣的非對角元素不改變行列式。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

對所給矩陣證明 AB≠BA。

A=\begin{pmatrix}1&4\\0&1\end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}

矩陣乘法的內側維度須相同；方陣只有行列式非零時才有逆矩陣。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

把兩個乘積分別計算。

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$(AB)_{12}=0,\quad(BA)_{12}=4\ne0$
只須一個元素不同即可反證交換性。

所求關係或結論如下。

AB=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\ BA=\begin{pmatrix}1&4\\0&0\end{pmatrix}

檢查與易錯點：只須一個元素不同即可反證交換性。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

求 det A。

A=\begin{pmatrix}5&1\\2&3\end{pmatrix}

矩陣乘法的內側維度須相同；方陣只有行列式非零時才有逆矩陣。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

使用此中間關係式。

det A=ad-bc

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$det A=3(5)-2=13$
以正確相減次序計算兩條對角線乘積。

所求值為 13。

檢查與易錯點：以正確相減次序計算兩條對角線乘積。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

求 AB 的 (1,2) 元素。

A=\begin{pmatrix}1&6\\0&1\end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix}2&3\\1&4\end{pmatrix}

矩陣乘法的內側維度須相同；方陣只有行列式非零時才有逆矩陣。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

使用此中間關係式。

(AB)_{12}=A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22}

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$(AB)_{12}=3+4(6)=27$
使用 A 的一列及 B 的一欄，不是把同位置元素相乘。

所求值為 27。

檢查與易錯點：使用 A 的一列及 B 的一欄，不是把同位置元素相乘。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

求聯立方程中的 x。

x+y=9,\quad x-y=7

矩陣乘法的內側維度須相同；方陣只有行列式非零時才有逆矩陣。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

把兩式相加以消去 y。

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$2x=16\Rightarrow x=8$
係數行列式非零，因此解唯一。

所求值為 8。

檢查與易錯點：係數行列式非零，因此解唯一。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

求 A⁻¹。

A=\begin{pmatrix}1&8\\0&1\end{pmatrix}

矩陣乘法的內側維度須相同；方陣只有行列式非零時才有逆矩陣。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

求三角矩陣的逆，並驗證 AA⁻¹=I。

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$\begin{pmatrix}1&8\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-8\\0&1\end{pmatrix}=I$
明確乘積可驗證逆矩陣，避免只靠記憶正負模式。

所求關係或結論如下。

A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-8\\0&1\end{pmatrix}

檢查與易錯點：明確乘積可驗證逆矩陣，避免只靠記憶正負模式。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

求 A⁻¹。

A=\begin{pmatrix}1&9\\0&1\end{pmatrix}

矩陣乘法的內側維度須相同；方陣只有行列式非零時才有逆矩陣。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

求三角矩陣的逆，並驗證 AA⁻¹=I。

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$\begin{pmatrix}1&9\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-9\\0&1\end{pmatrix}=I$
明確乘積可驗證逆矩陣，避免只靠記憶正負模式。

所求關係或結論如下。

A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-9\\0&1\end{pmatrix}

檢查與易錯點：明確乘積可驗證逆矩陣，避免只靠記憶正負模式。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

求三階三角矩陣的行列式。

A=\begin{pmatrix}10&1&2\\0&2&3\\0&0&4\end{pmatrix}

矩陣乘法的內側維度須相同；方陣只有行列式非零時才有逆矩陣。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

三角矩陣的行列式為對角元素乘積。

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$det A=10\cdot2\cdot4=80$
三角矩陣的非對角元素不改變行列式。

所求值為 80。

檢查與易錯點：三角矩陣的非對角元素不改變行列式。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

分類此聯立方程的解。

x+y=11,\quad2x+2y=22

矩陣乘法的內側維度須相同；方陣只有行列式非零時才有逆矩陣。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

第二式為第一式的兩倍。

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$y=11-x$
行列式為零本身不表示無解；此相容系統有無限多解。

所求關係或結論如下。

(x,y)=(s,11-s),\ s\in\mathbb R

檢查與易錯點：行列式為零本身不表示無解；此相容系統有無限多解。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

對所給矩陣證明 AB≠BA。

A=\begin{pmatrix}1&12\\0&1\end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}

矩陣乘法的內側維度須相同；方陣只有行列式非零時才有逆矩陣。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

把兩個乘積分別計算。

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$(AB)_{12}=0,\quad(BA)_{12}=12\ne0$
只須一個元素不同即可反證交換性。

所求關係或結論如下。

AB=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\ BA=\begin{pmatrix}1&12\\0&0\end{pmatrix}

檢查與易錯點：只須一個元素不同即可反證交換性。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

分類此聯立方程的解。

x+y=13,\quad2x+2y=26

矩陣乘法的內側維度須相同；方陣只有行列式非零時才有逆矩陣。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

第二式為第一式的兩倍。

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$y=13-x$
行列式為零本身不表示無解；此相容系統有無限多解。

所求關係或結論如下。

(x,y)=(s,13-s),\ s\in\mathbb R

檢查與易錯點：行列式為零本身不表示無解；此相容系統有無限多解。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

對所給矩陣證明 AB≠BA。

A=\begin{pmatrix}1&14\\0&1\end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}

矩陣乘法的內側維度須相同；方陣只有行列式非零時才有逆矩陣。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

把兩個乘積分別計算。

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$(AB)_{12}=0,\quad(BA)_{12}=14\ne0$
只須一個元素不同即可反證交換性。

所求關係或結論如下。

AB=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\ BA=\begin{pmatrix}1&14\\0&0\end{pmatrix}

檢查與易錯點：只須一個元素不同即可反證交換性。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

課末檢核與訂正

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教師備課與評核

提問順序

矩陣加乘、使用行列式及解方程組，避免假設所有矩陣均可逆。
「矩陣、行列式及線性方程組」中哪一個條件不可缺少？
AB、BA 均存在時，元素仍可能不同嗎？

板書重點

模型或定義：矩陣加乘、使用行列式及解方程組，避免假設所有矩陣均可逆。
$\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$
適用條件：矩陣乘法的內側維度須相同；方陣只有行列式非零時才有逆矩陣。

預期想法

矩陣乘法通常不交換。

評核清單

1分：選取正確表示法及條件。
1分：建立中間關係式。
1分：完成連貫的計算或證明。
1分：解釋並檢查結論。