Kenneth Cheng數學建模
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學習・解釋・訂正

複數的三角表示（星號選學）

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高一必修 第二册(A版).pdf · 7.3 · PDF 90 / 印刷頁 83

先重溫：複數的四則運算

專題 01

複數的三角表示（星號選學）

透過定義、對照例子及有理據的應用，掌握複數的三角表示（星號選學）。

學完之後，你能解釋

  • 連結複數的三角表示（星號選學）的幾何與代數表示。
  • 連結不同表示法，說明每步理由，並處理邊界情況。
  • 能解釋解法，並把概念用於改變了的情境。

三角形式

非零複數由正模及模 2π 的幅角表示。

z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z=r(\cos\theta+i\sin\theta)

乘積與冪

乘積把模相乘、幅角相加；乘方把幅角乘相應倍數。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：計算前，預測「複數的三角表示（星號選學）」的一項定義條件改變後，結論會怎樣改變，並記錄理由。

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

z=2+(1)i；模長=2.2361；幅角=0.4636 弧度（零的幅角未定義）。

z=2+(1)i；模長=2.2361；幅角=0.4636 弧度（零的幅角未定義）。

解釋：比較兩個符合條件的例子及一個邊界或不符合條件的例子，利用所述定義解釋差異。

遷移：自擬新例子及一個容易令人信服的錯誤解法，再指出缺漏條件並修正。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

寫出三角表示。

z=2iz=2i
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用模與幅角，並記得幅角可相差整周。
提示 2
點在正虛軸。
完整解答

  1. 使用模與幅角，並記得幅角可相差整周。

  2. 計算或化簡此關係式。

    ∣z∣=2,arg⁡z=π/2+2nπ|z|=2,\quad\arg z=\pi/2+2n\pi

  3. 所選幅角是無限多個代表之一。

2(cos(π/2)+i sin(π/2))。

檢查與易錯點：所選幅角是無限多個代表之一。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

求乘積的模。

∣z1∣=2,∣z2∣=3|z_1|=2,\quad|z_2|=3
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用模與幅角，並記得幅角可相差整周。
提示 2
相乘會把模相乘。
完整解答

  1. 使用模與幅角，並記得幅角可相差整周。

  2. 計算或化簡此關係式。

    ∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣=6|z_1z_2|=|z_1||z_2|=6

  3. 幅角相加，長度相乘。

所求值為 6。

檢查與易錯點：幅角相加，長度相乘。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

為何零沒有唯一決定的幅角？

0=0(cos⁡θ+isin⁡θ)0=0(\cos\theta+i\sin\theta)
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用模與幅角，並記得幅角可相差整周。
提示 2
考慮原點與不同射線的位置。
完整解答

  1. 使用模與幅角，並記得幅角可相差整周。

  2. 計算或化簡此關係式。

    0cos⁡θ=0,0sin⁡θ=00\cos\theta=0,\quad0\sin\theta=0

  3. 幅角描述方向，要求複數非零。

模為零，任何 θ 均得到零。

檢查與易錯點：幅角描述方向，要求複數非零。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

寫出三角表示。

z=3iz=3i
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用模與幅角，並記得幅角可相差整周。
提示 2
點在正虛軸。
完整解答

  1. 使用模與幅角，並記得幅角可相差整周。

  2. 計算或化簡此關係式。

    ∣z∣=3,arg⁡z=π/2+2nπ|z|=3,\quad\arg z=\pi/2+2n\pi

  3. 所選幅角是無限多個代表之一。

3(cos(π/2)+i sin(π/2))。

檢查與易錯點：所選幅角是無限多個代表之一。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

求乘積的模。

∣z1∣=3,∣z2∣=3|z_1|=3,\quad|z_2|=3
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用模與幅角，並記得幅角可相差整周。
提示 2
相乘會把模相乘。
完整解答

  1. 使用模與幅角，並記得幅角可相差整周。

  2. 計算或化簡此關係式。

    ∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣=9|z_1z_2|=|z_1||z_2|=9

  3. 幅角相加，長度相乘。

所求值為 9。

檢查與易錯點：幅角相加，長度相乘。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

用棣美弗公式求實部。

[3(cos⁡(π/3)+isin⁡(π/3))]3[3(\cos(\pi/3)+i\sin(\pi/3))]^3
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用模與幅角，並記得幅角可相差整周。
提示 2
模取三次方，角乘三。
完整解答

  1. 使用模與幅角，並記得幅角可相差整周。

  2. 計算或化簡此關係式。

    27(cos⁡π+isin⁡π)=−2727(\cos\pi+i\sin\pi)=-27

  3. 模乘方時必須同時把角乘相應倍數。

所求值為 -27。

檢查與易錯點：模乘方時必須同時把角乘相應倍數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

以三角或代數形式列出 1 的兩個平方根。

z2=1z^2=1
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用模與幅角，並記得幅角可相差整周。
提示 2
把不同整周代表的幅角一併除以二。
完整解答

  1. 使用模與幅角，並記得幅角可相差整周。

  2. 計算或化簡此關係式。

    ∣z∣=1,2θ=2nπ⇒θ=nπ|z|=1,\quad2\theta=2n\pi\Rightarrow\theta=n\pi

  3. 只用幅角零會漏掉一根。

1 及 −1。

檢查與易錯點：只用幅角零會漏掉一根。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

求商的模。

∣z1∣=9,∣z2∣=3|z_1|=9,\quad|z_2|=3
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用模與幅角，並記得幅角可相差整周。
提示 2
除數必須非零。
完整解答

  1. 使用模與幅角，並記得幅角可相差整周。

  2. 計算或化簡此關係式。

    ∣z1/z2∣=∣z1∣/∣z2∣=3|z_1/z_2|=|z_1|/|z_2|=3

  3. 相除時幅角相減。

所求值為 3。

檢查與易錯點：相除時幅角相減。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

同一正模下，幅角 θ 與 θ+2π 代表不同複數嗎？說明。

  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用模與幅角，並記得幅角可相差整周。
提示 2
比較實部與虛部。
完整解答

  1. 使用模與幅角，並記得幅角可相差整周。

  2. 計算或化簡此關係式。

    r(cos⁡(θ+2π)+isin⁡(θ+2π))=r(cos⁡θ+isin⁡θ)r(\cos(\theta+2\pi)+i\sin(\theta+2\pi))=r(\cos\theta+i\sin\theta)

  3. 複數固定，但表示法不唯一。

不是；一整周不改變正弦與餘弦。

檢查與易錯點：複數固定，但表示法不唯一。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

列出一的所有立方根。

z3=1z^3=1
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
取模一，把三個不同整周幅角除三。
提示 2
幅角以 2π 為模重複。
完整解答

  1. 取模一，把三個不同整周幅角除三。

  2. 計算或化簡此關係式。

    ∣z∣=1;θ=0,2π/3,4π/3|z|=1;\quad\theta=0,2\pi/3,4\pi/3

  3. 三點互異，並涵蓋三次方程的全部根。

1、−1/2+i√3/2、−1/2−i√3/2。

檢查與易錯點：三點互異，並涵蓋三次方程的全部根。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

寫出三角表示。

z=4iz=4i
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用模與幅角，並記得幅角可相差整周。
提示 2
點在正虛軸。
完整解答

  1. 使用模與幅角，並記得幅角可相差整周。

  2. 計算或化簡此關係式。

    ∣z∣=4,arg⁡z=π/2+2nπ|z|=4,\quad\arg z=\pi/2+2n\pi

  3. 所選幅角是無限多個代表之一。

4(cos(π/2)+i sin(π/2))。

檢查與易錯點：所選幅角是無限多個代表之一。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

求乘積的模。

∣z1∣=4,∣z2∣=3|z_1|=4,\quad|z_2|=3
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用模與幅角，並記得幅角可相差整周。
提示 2
相乘會把模相乘。
完整解答

  1. 使用模與幅角，並記得幅角可相差整周。

  2. 計算或化簡此關係式。

    ∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣=12|z_1z_2|=|z_1||z_2|=12

  3. 幅角相加，長度相乘。

所求值為 12。

檢查與易錯點：幅角相加，長度相乘。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

用棣美弗公式求實部。

[4(cos⁡(π/3)+isin⁡(π/3))]3[4(\cos(\pi/3)+i\sin(\pi/3))]^3
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用模與幅角，並記得幅角可相差整周。
提示 2
模取三次方，角乘三。
完整解答

  1. 使用模與幅角，並記得幅角可相差整周。

  2. 計算或化簡此關係式。

    64(cos⁡π+isin⁡π)=−6464(\cos\pi+i\sin\pi)=-64

  3. 模乘方時必須同時把角乘相應倍數。

所求值為 -64。

檢查與易錯點：模乘方時必須同時把角乘相應倍數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

專注一道題目

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

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    選擇需要重溫的補底知識 ↗

    教師備課與評核

    提問順序

    • 使用「複數的三角表示（星號選學）」的主要法則前，須滿足甚麼條件？
    • 哪一種表示法能使此題較易處理？為甚麼？
    • 改變一項假設後，原結論還成立嗎？

    板書重點

    • 連結複數的三角表示（星號選學）的幾何與代數表示。
    • 三角形式：非零複數由正模及模 2π 的幅角表示。
      z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z=r(\cos\theta+i\sin\theta)
    • 乘積與冪：乘積把模相乘、幅角相加；乘方把幅角乘相應倍數。
    • 總結：條件 → 表示 → 推理 → 檢驗。

    預期想法

    • 預期理由：非零複數由正模及模 2π 的幅角表示。
    • 預期理由：乘積把模相乘、幅角相加；乘方把幅角乘相應倍數。
    • 預期修正：幅角不唯一，而零沒有唯一方向。

    評核清單

    • 1：辨識已知條件及所求。
    • 1：選取合適定義、表示或方法。
    • 1：推理連貫且正確。
    • 1：檢驗條件並解釋結果。

    免登入，紀錄保存在此瀏覽器；清除資料前請先匯出。書面推理按清單自評或由教師評核。

    教材與來源說明 ↗