Kenneth Cheng數學建模
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學習・解釋・訂正

極座標

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

2027 JM02 考試大綱 · 4. Coordinate geometry: polar coordinates · PDF 2 / 印刷頁 2

專題 01

極座標

轉換座標表示，消去極座標變量時保留幾何範圍。

學完之後，你能解釋

  • 轉換座標表示，消去極座標變量時保留幾何範圍。
  • 在新情境中說明方法的理由，並檢查適用條件。

模型或定義

轉換座標表示，消去極座標變量時保留幾何範圍。

x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θx=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta

適用條件

角度採弧度；除非明確允許帶符號半徑，否則 r≥0。原點的極角不唯一。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：半徑保持正數時，極角加 π 會保留同一點嗎？

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

(r,θ)=(2,45°) 對應 (1.4142,1.4142)；(−r,θ+180°) 表示同一點。r=0 時極角不唯一。

(r,θ)=(2,45°) 對應 (1.4142,1.4142)；(−r,θ+180°) 表示同一點。r=0 時極角不唯一。

解釋：比較兩個符合條件的情況，利用所述模型解釋結果差異。

遷移：比較 θ+2π 及帶符號半徑對 (−r,θ+π)。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

求極座標點的 x。

(r,θ)=(2,0)(r,\theta)=(2,0)
  • 角度採弧度；除非明確允許帶符號半徑，否則 r≥0。原點的極角不唯一。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
提示 2
使用此中間關係式。
x=rcos⁡θx=r\cos\theta
完整解答

  1. 寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    x=2cos⁡0=2x=2\cos0=2

  3. 角零指向正 x 軸。

所求值為 2。

檢查與易錯點：角零指向正 x 軸。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

把極座標曲線轉成直角座標式。

r=6cos⁡θr=6\cos\theta
  • 角度採弧度；除非明確允許帶符號半徑，否則 r≥0。原點的極角不唯一。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
提示 2
兩邊乘 r，再使用 r²=x²+y²。
完整解答

  1. 寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    r2=2(3)rcos⁡θr^2=2(3)r\cos\theta

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    x2+y2=6xx^2+y^2=6x

  4. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    (x−3)2+y2=9(x-3)^2+y^2=9

  5. r≥0 時，非零點要求 cosθ≥0，但仍可描出完整直角座標圓。

所求關係或結論如下。

(x−3)2+y2=9(x-3)^2+y^2=9

檢查與易錯點：r≥0 時，非零點要求 cosθ≥0，但仍可描出完整直角座標圓。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

描述所列 r≥0 的極座標軌跡，並與整條支撐直線比較。

θ=π/6,r≥0\theta=\pi/6,\quad r\ge0
  • 角度採弧度；除非明確允許帶符號半徑，否則 r≥0。原點的極角不唯一。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
提示 2
使用兩個座標關係，並保留半徑非負的條件。
完整解答

  1. 寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    y=tan⁡(π/6)x,x≥0y=\tan(\pi/6)x, x\ge0

  3. 極座標軌跡為射線；漏掉正負限制會加上反向射線。

所求關係或結論如下。

y=tan⁡(π/6)x,x≥0y=\tan(\pi/6)x,\quad x\ge0

檢查與易錯點：極座標軌跡為射線；漏掉正負限制會加上反向射線。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

求極座標點的 x。

(r,θ)=(5,0)(r,\theta)=(5,0)
  • 角度採弧度；除非明確允許帶符號半徑，否則 r≥0。原點的極角不唯一。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
提示 2
使用此中間關係式。
x=rcos⁡θx=r\cos\theta
完整解答

  1. 寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    x=5cos⁡0=5x=5\cos0=5

  3. 角零指向正 x 軸。

所求值為 5。

檢查與易錯點：角零指向正 x 軸。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

求極座標點的 y。

(r,θ)=(6,π/2)(r,\theta)=(6,\pi/2)
  • 角度採弧度；除非明確允許帶符號半徑，否則 r≥0。原點的極角不唯一。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
提示 2
使用此中間關係式。
y=rsin⁡θy=r\sin\theta
完整解答

  1. 寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    y=6sin⁡(π/2)=6y=6\sin(\pi/2)=6

  3. π/2 方向位於正 y 軸。

所求值為 6。

檢查與易錯點：π/2 方向位於正 y 軸。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

求直角座標點的 r≥0。

P=(21,28)P=(21,28)
  • 角度採弧度；除非明確允許帶符號半徑，否則 r≥0。原點的極角不唯一。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
提示 2
使用此中間關係式。
r=x2+y2r=\sqrt{x^2+y^2}
完整解答

  1. 寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    r=441+784=35r=\sqrt{441+784}=35

  3. 使用到原點的非負距離。

所求值為 35。

檢查與易錯點：使用到原點的非負距離。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

寫出 (−t,0) 的正半徑極座標表示。

t=8t=8
  • 角度採弧度；除非明確允許帶符號半徑，否則 r≥0。原點的極角不唯一。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
提示 2
此點位於負 x 軸。
完整解答

  1. 寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    x=8cos⁡π=−8,y=0x=8\cos\pi=-8,\quad y=0

  3. 半徑為正時，此點極角為 π，不是零。

所求關係或結論如下。

(r,θ)=(8,π)(r,\theta)=(8,\pi)

檢查與易錯點：半徑為正時，此點極角為 π，不是零。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

寫出 (−t,0) 的正半徑極座標表示。

t=9t=9
  • 角度採弧度；除非明確允許帶符號半徑，否則 r≥0。原點的極角不唯一。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
提示 2
此點位於負 x 軸。
完整解答

  1. 寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    x=9cos⁡π=−9,y=0x=9\cos\pi=-9,\quad y=0

  3. 半徑為正時，此點極角為 π，不是零。

所求關係或結論如下。

(r,θ)=(9,π)(r,\theta)=(9,\pi)

檢查與易錯點：半徑為正時，此點極角為 π，不是零。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

把極座標曲線轉成直角座標式。

r=20cos⁡θr=20\cos\theta
  • 角度採弧度；除非明確允許帶符號半徑，否則 r≥0。原點的極角不唯一。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
提示 2
兩邊乘 r，再使用 r²=x²+y²。
完整解答

  1. 寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    r2=2(10)rcos⁡θr^2=2(10)r\cos\theta

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    x2+y2=20xx^2+y^2=20x

  4. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    (x−10)2+y2=100(x-10)^2+y^2=100

  5. r≥0 時，非零點要求 cosθ≥0，但仍可描出完整直角座標圓。

所求關係或結論如下。

(x−10)2+y2=100(x-10)^2+y^2=100

檢查與易錯點：r≥0 時，非零點要求 cosθ≥0，但仍可描出完整直角座標圓。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

在帶符號半徑慣例下，證明兩個極座標對表示同一點。

(11,π/3),(−11,4π/3)(11,\pi/3),\quad(-11,4\pi/3)
  • 角度採弧度；除非明確允許帶符號半徑，否則 r≥0。原點的極角不唯一。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
提示 2
使用此中間關係式。
cos(θ+π)=−cosθ;sin(θ+π)=−sinθ.cos(θ+π)=−cosθ; sin(θ+π)=−sinθ.
完整解答

  1. 寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    (−11)cos⁡(4π/3)=11/2(-11)\cos(4\pi/3)=11/2

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    (−11)sin⁡(4π/3)=113/2(-11)\sin(4\pi/3)=11\sqrt3/2

  4. 半徑負號抵消反向方向。

所求關係或結論如下。

x=11/2,y=113/2x=11/2,\quad y=11\sqrt3/2

檢查與易錯點：半徑負號抵消反向方向。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

描述所列 r≥0 的極座標軌跡，並與整條支撐直線比較。

θ=π/7,r≥0\theta=\pi/7,\quad r\ge0
  • 角度採弧度；除非明確允許帶符號半徑，否則 r≥0。原點的極角不唯一。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
提示 2
使用兩個座標關係，並保留半徑非負的條件。
完整解答

  1. 寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    y=tan⁡(π/7)x,x≥0y=\tan(\pi/7)x, x\ge0

  3. 極座標軌跡為射線；漏掉正負限制會加上反向射線。

所求關係或結論如下。

y=tan⁡(π/7)x,x≥0y=\tan(\pi/7)x,\quad x\ge0

檢查與易錯點：極座標軌跡為射線；漏掉正負限制會加上反向射線。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

在帶符號半徑慣例下，證明兩個極座標對表示同一點。

(13,π/3),(−13,4π/3)(13,\pi/3),\quad(-13,4\pi/3)
  • 角度採弧度；除非明確允許帶符號半徑，否則 r≥0。原點的極角不唯一。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
提示 2
使用此中間關係式。
cos(θ+π)=−cosθ;sin(θ+π)=−sinθ.cos(θ+π)=−cosθ; sin(θ+π)=−sinθ.
完整解答

  1. 寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    (−13)cos⁡(4π/3)=13/2(-13)\cos(4\pi/3)=13/2

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    (−13)sin⁡(4π/3)=133/2(-13)\sin(4\pi/3)=13\sqrt3/2

  4. 半徑負號抵消反向方向。

所求關係或結論如下。

x=13/2,y=133/2x=13/2,\quad y=13\sqrt3/2

檢查與易錯點：半徑負號抵消反向方向。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

描述所列 r≥0 的極座標軌跡，並與整條支撐直線比較。

θ=π/2,r≥0\theta=\pi/2,\quad r\ge0
  • 角度採弧度；除非明確允許帶符號半徑，否則 r≥0。原點的極角不唯一。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
提示 2
使用兩個座標關係，並保留半徑非負的條件。
完整解答

  1. 寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    x=0,y=r≥0x=0, y=r\ge0

  3. 極座標軌跡為射線；漏掉正負限制會加上反向射線。

所求關係或結論如下。

x=0,y≥0x=0, y\ge0

檢查與易錯點：極座標軌跡為射線；漏掉正負限制會加上反向射線。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

專注一道題目

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

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    選擇需要重溫的補底知識 ↗

    教師備課與評核

    提問順序

    • 轉換座標表示，消去極座標變量時保留幾何範圍。
    • 「極座標」中哪一個條件不可缺少？
    • 半徑保持正數時，極角加 π 會保留同一點嗎？

    板書重點

    • 模型或定義：轉換座標表示，消去極座標變量時保留幾何範圍。
      x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θx=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta
    • 適用條件：角度採弧度；除非明確允許帶符號半徑，否則 r≥0。原點的極角不唯一。

    預期想法

    • 等價角可相差2π；帶符號負半徑亦可表示同一點。

    評核清單

    • 1分：選取正確表示法及條件。
    • 1分：建立中間關係式。
    • 1分：完成連貫的計算或證明。
    • 1分：解釋並檢查結論。

    免登入，紀錄保存在此瀏覽器；清除資料前請先匯出。書面推理按清單自評或由教師評核。

    教材與來源說明 ↗