由四複根推導實係數二次因式分解。

01 / 鞏固#獨立練習

z^4-\sqrt3z^2+1

官方試卷 · jm02-2026 · 4(b)(i) · PDF 6

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把每個複根與其共軛根配成一對。

提示 2

一對單位共軛複數的和為其餘弦的兩倍。

完整解答

幅角為 ±π/12 的一對，利用根和根積得第一因式。
$(z-e^{i\pi/12})(z-e^{-i\pi/12})=z^2-2z\cos\frac\pi{12}+1$
另一對的餘弦為 −cos(π/12)。兩個首一因式相乘即涵蓋全部四根。
$z^4-\sqrt3z^2+1=\left(z^2-2z\cos\frac\pi{12}+1\right)\left(z^2+2z\cos\frac\pi{12}+1\right)$

所求乘積由共軛根配對得出。

檢查與易錯點：不要預先假定下一小題才要證明的半角值。

推理清單・自評／教師評核

以下為自編教學評核清單；官方分值以原卷為準。
幅角為 ±π/12 的一對，利用根和根積得第一因式。
$(z-e^{i\pi/12})(z-e^{-i\pi/12})=z^2-2z\cos\frac\pi{12}+1$
另一對的餘弦為 −cos(π/12)。兩個首一因式相乘即涵蓋全部四根。
$z^4-\sqrt3z^2+1=\left(z^2-2z\cos\frac\pi{12}+1\right)\left(z^2+2z\cos\frac\pi{12}+1\right)$

先思考，待同學準備好再展開提示。

2026 JM02