利用上述二次方程求全部四根，並列主幅角。

01 / 鞏固#獨立練習

z^4-\sqrt3z^2+1=0

官方試卷 · jm02-2026 · 4(a)(ii) · PDF 6

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

令 w=z²。

提示 2

每個非零 w 都有兩個相差 π 的平方根。

完整解答

把二次方程結果用於 z²。
$z^2=e^{i\pi/6}\ \text{or}\ e^{-i\pi/6}$
容許幅角增加整周後再除以二，最後化至主幅角區間。
$z=\cos\theta+i\sin\theta,\quad\theta\in\left\{\frac\pi{12},-\frac\pi{12},\frac{11\pi}{12},-\frac{11\pi}{12}\right\}$

四根的幅角為 ±π/12、±11π/12。

檢查與易錯點：只把兩個主幅角除以二會漏掉兩根。

推理清單・自評／教師評核

以下為自編教學評核清單；官方分值以原卷為準。
把二次方程結果用於 z²。
$z^2=e^{i\pi/6}\ \text{or}\ e^{-i\pi/6}$
容許幅角增加整周後再除以二，最後化至主幅角區間。
$z=\cos\theta+i\sin\theta,\quad\theta\in\left\{\frac\pi{12},-\frac\pi{12},\frac{11\pi}{12},-\frac{11\pi}{12}\right\}$

先思考，待同學準備好再展開提示。

2026 JM02