2025 JM02

1. 高線平分 AD。

   $$AM=\frac a2,\quad VA=a,\quad VM\perp AD$$

2. 取正平方根。

   $$VM=\sqrt{a^2-\left(\frac a2\right)^2}=\frac{\sqrt3}2a$$

VM=√3a/2。

檢查與易錯點：VM 是高，不是斜邊 VA。

1. VM 在側面內垂直兩平面的交線 AD，因此為棱錐的高。

   $$h=VM=\frac{\sqrt3}2a,\quad A_{\rm base}=a^2$$

2. 使用體積公式。

   $$V=\frac13a^2\frac{\sqrt3}2a=\frac{\sqrt3}6a^3$$

體積為 √3a³/6。

檢查與易錯點：體積係數為 1/3，不是 1/2。

1. 在正三角形 VAD，AP⊥VD；又 VB=BD=√2a，故等腰三角形 VBD 的中線 BP 也垂直 VD。

2. 故 ∠APB 為二面角的平面角。AB 垂直面 VAD，因此 APB 在 A 處為直角。

   $$AP=\frac{\sqrt3}2a,\quad AB=a$$

3. 在 P 處使用對邊比鄰邊。

   $$\tan x=\frac{AB}{AP}=\frac2{\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}3$$

tan x=2√3/3。

檢查與易錯點：二面角的平面角須由兩條垂直同一公共棱的直線構成。

1. 求底面、正三角形面及兩個直角面面積。

   $$A_{ABCD}=a^2,\quad A_{VAD}=\frac{\sqrt3}4a^2,\quad A_{VAB}=A_{VDC}=\frac12a^2$$

2. VBC 的兩腰為 √2a，底為 a。

   $$h_{VBC}=\sqrt{2a^2-\frac{a^2}4}=\frac{\sqrt7}2a,\quad A_{VBC}=\frac{\sqrt7}4a^2$$

3. 把五個面的面積相加。

   $$A_{\rm total}=\left(2+\frac{\sqrt3+\sqrt7}4\right)a^2$$

總面積為 [2+(√3+√7)/4]a²。

檢查與易錯點：總表面積包括正方形底面。

1. 分解三次多項式。

   $$f(x)=(x-1)(x^2+4x+4)=(x-1)(x+2)^2$$

2. 令各因式等於零。

   $$x=1\quad\text{or}\quad x=-2\text{ (double root)}$$

x=1、−2，其中 −2 為二重根。

檢查與易錯點：重根只是一個相異零點，但重數為二。

1. 求一次導數。

   $$f'(x)=3x^2+6x$$

2. 再求導數。

   $$f''(x)=6x+6$$

f′=3x²+6x；f″=6x+6。

檢查與易錯點：3x² 的導數是 6x。

1. 解駐點方程。

   $$f'(x)=3x(x+2)=0\iff x=-2,0$$

2. 導數符號依次為 +、−、+，再計算函數值。

   $$f(-2)=0\text{ (local maximum)},\quad f(0)=-4\text{ (local minimum)}$$

x=−2 處局部極大值為 0；x=0 處局部極小值為 −4。

檢查與易錯點：−2 處的二重零點在局部極大處與 x 軸相切。

1. 二階導數在 −1 處由負變正。

   $$f''(x)=6(x+1)$$

2. 求其縱坐標。

   $$f(-1)=-1+3-4=-2$$

拐點為 (−1,−2)。

檢查與易錯點：拐點涉及凹凸性，不一定是駐點。

1. 標出區間端點與零點。

   $$f(-3)=-4,\quad f(1.2)=2.048,\quad f(-2)=f(1)=0$$

2. 平滑連接：遞增至 (−2,0)，遞減至 (0,−4)，再遞增；在 (−1,−2) 改變凹凸性。

下圖在 −2 與 x 軸相切，在 1 穿過 x 軸。

檢查與易錯點：此處的二重根與 x 軸相切而不穿過。

1. 求兩曲線之差的零點及兩根之間的符號。

   $$y_2-y_1=-3(x+2)(x-1)>0\quad(-2<x<1)$$

2. 積分正的高度差。

   $$A=\int_{-2}^1(-3x^2-3x+6)\,dx=\left[-x^3-\frac32x^2+6x\right]_{-2}^1=\frac{27}2$$

面積為 27/2。

檢查與易錯點：先把兩曲線相減可大幅簡化積分。

1. 由 A、P 求斜率。

   $$m=\frac{1-(-1)}{2-0}=1$$

2. 把 A 代入點斜式。

   $$y+1=x\implies y=x-1$$

y=x−1。

檢查與易錯點：這一步不需要先知道焦點坐標。

1. 在直線方程中令 y=0。

   $$0=x-1\implies F_1=(1,0)$$

2. 使用橢圓的中心對稱。

   $$F_2=(-1,0)$$

F₁=(1,0)，F₂=(−1,0)。

檢查與易錯點：a>b 表示長軸在水平方向。

1. A 在橢圓上，所以 b²=1。

   $$\frac1{b^2}=1,\quad b>0\implies b=1$$

2. 由焦距關係求 a。

   $$a^2=b^2+c^2=2\implies a=\sqrt2$$

a=√2、b=1；橢圓為 x²/2+y²=1。

檢查與易錯點：按題意須取正半軸。

1. 得到 x 的二次方程。

   $$3x^2+4mx+2m^2-2=0$$

2. 令判別式為零。

   $$16m^2-12(2m^2-2)=0\implies m^2=3\implies m=\pm\sqrt3$$

m=±√3。

檢查與易錯點：橢圓兩側各有一條平行切線。

1. 使用立方差公式。

   $$z^3-8=(z-2)(z^2+2z+4)$$

2. 根 2 不符合 b≠0，故解另一因式。

   $$z=-1\pm\sqrt3i$$

z=−1±√3i。

檢查與易錯點：題目要求虛部非零，因此須排除根 2。

1. 把大指數化為平方。

   $$z^{2024}=8^{674}z^2=2^{2022}z^2$$

2. 把兩個共軛根平方，保留對應符號。

   $$(-1\pm\sqrt3i)^2=-2\mp2\sqrt3i\implies z^{2024}=-2^{2023}(1\pm\sqrt3i)$$

若 z=−1±√3i，則 z²⁰²⁴=−2²⁰²³(1±√3i)，取相同對應符號。

檢查與易錯點：外面的負號會同時改變實部及虛部。

1. 因為 w≠1，所以求和分母非零。

   $$\sum_{k=0}^nw^k=\frac{e^{i(n+1)\theta}-1}{e^{i\theta}-1}$$

2. 分解分子分母並化簡指數相位。

   $$\frac{2ie^{i(n+1)\theta/2}\sin((n+1)\theta/2)}{2ie^{i\theta/2}\sin(\theta/2)}=e^{in\theta/2}\frac{\sin((n+1)\theta/2)}{\sin(\theta/2)}=w^{n/2}\frac{\sin((n+1)\theta/2)}{\sin(\theta/2)}$$

恆等式成立；n/2 為整數，且 sin(θ/2)≠0。

檢查與易錯點：使用指數相位可避免任意選取 w 的複平方根所造成的歧義。

1. θ≠π 時，恆等式給出乘積，且分母非零。

   $$\sum_{k=1}^6\sin(k\theta)=\frac{\sin3\theta\sin(7\theta/2)}{\sin(\theta/2)}$$

2. 分別令因子為零，並限制在開區間內。

   $$\theta=\frac{k\pi}3\ (k=1,2,3,4,5),\quad\text{or}\quad\theta=\frac{2m\pi}7\ (m=1,2,3,4,5,6)$$

3. θ=π 時每個加數均為零，所以確實包含此解；兩組解在區間內不重複。

共十一解：kπ/3（k=1,…,5）及 2mπ/7（m=1,…,6）。

檢查與易錯點：不能因為前一題排除 π，就把本題的 π 解刪去。

1. 展開並合併同類項得對稱三次式。

   $$|C|=2(a^3+b^3+c^3-3abc)$$

2. 分解並把二次因子寫成平方和。

   $$|C|=(a+b+c)\big[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\big]$$

|C|=(a+b+c)[(a−b)²+(b−c)²+(c−a)²]。

檢查與易錯點：交換兩行會使行列式改變符號。

1. 一次因子給出一個解平面。

   $$a+b+c=0\implies(a,b,c)=(r,s,-r-s)$$

2. 平方差因子給出對角直線。

   $$a=b=c\implies(a,b,c)=(r,r,r),\quad r,s\in\mathbb R$$

所有 (r,s,−r−s)，以及所有 (r,r,r)。

檢查與易錯點：兩組解是聯集，不是要同時滿足兩個條件。

1. 此行變換不改變行列式。

   $$\begin{vmatrix}k&2&-1\\0&k&1\\k&3&0\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}k&2&-1\\0&k&1\\0&1&1\end{vmatrix}=k(k-1)$$

2. 係數矩陣非奇異時，對每個 p、q 都恰有一解。

   $$k\ne0,1$$

恰在 k≠0 且 k≠1 時有唯一解。

檢查與易錯點：行列式為零時須另查相容性，不能直接認定無解。

1. k=0 時，後兩式決定 y、z；若第一式一致，x 可任取。

   $$k=0:\quad p+q=4,\quad(x,y,z)=(t,2,q),\ t\in\mathbb R$$

2. k=1 時，把前兩式相加並與第三式比較。

   $$k=1:\quad p+q=6,\quad(x,y,z)=(6-3t,t,q-t),\ t\in\mathbb R$$

3. 若相應條件不成立便無解；其他 k 不可能有多解。

k=0 須 p+q=4；k=1 須 p+q=6，通解如上。

檢查與易錯點：必須包含兩種奇異情況。