求兩條三次曲線圍成的面積。

01 / 鞏固#獨立練習

y_1=x^3+3x^2-4,\quad y_2=x^3-3x+2

官方試卷 · jm02-2025 · 2(b) · PDF 4

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

兩曲線相減，三次項會相消。

提示 2

求兩交點的橫坐標。

完整解答

求兩曲線之差的零點及兩根之間的符號。
$y_2-y_1=-3(x+2)(x-1)>0\quad(-2<x<1)$
積分正的高度差。
$A=\int_{-2}^1(-3x^2-3x+6)\,dx=\left[-x^3-\frac32x^2+6x\right]_{-2}^1=\frac{27}2$

面積為 27/2。

檢查與易錯點：先把兩曲線相減可大幅簡化積分。

推理清單・自評／教師評核

以下為自編教學評核清單；官方分值以原卷為準。
求兩曲線之差的零點及兩根之間的符號。
$y_2-y_1=-3(x+2)(x-1)>0\quad(-2<x<1)$
積分正的高度差。
$A=\int_{-2}^1(-3x^2-3x+6)\,dx=\left[-x^3-\frac32x^2+6x\right]_{-2}^1=\frac{27}2$

先思考，待同學準備好再展開提示。

2025 JM02