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學習・解釋・訂正

四棱錐 V–ABCD 的正方形底邊長 a>0；側面 VAD 為正三角形且垂直底面，M 為 AD 中點。求 VAD 與 VDB 的二面角之正切。

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

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專題 01

2025 JM02

二面角的平面角須由兩條垂直同一公共棱的直線構成。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 鞏固#獨立練習

四棱錐 V–ABCD 的正方形底邊長 a>0；側面 VAD 為正三角形且垂直底面，M 為 AD 中點。求 VAD 與 VDB 的二面角之正切。

官方試卷 · jm02-2025 · 1(c) · PDF 3

官方原卷及參考答案 ↗ · 參考答案 PDF 頁 8

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

取兩平面公共棱 VD 的中點 P。

提示 2

找出垂直 VD 的 AP、BP。

完整解答

在正三角形 VAD，AP⊥VD；又 VB=BD=√2a，故等腰三角形 VBD 的中線 BP 也垂直 VD。
故 ∠APB 為二面角的平面角。AB 垂直面 VAD，因此 APB 在 A 處為直角。
$AP=\frac{\sqrt3}2a,\quad AB=a$
在 P 處使用對邊比鄰邊。
$\tan x=\frac{AB}{AP}=\frac2{\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}3$

tan x=2√3/3。

檢查與易錯點：二面角的平面角須由兩條垂直同一公共棱的直線構成。

推理清單・自評／教師評核

以下為自編教學評核清單；官方分值以原卷為準。
在正三角形 VAD，AP⊥VD；又 VB=BD=√2a，故等腰三角形 VBD 的中線 BP 也垂直 VD。
故 ∠APB 為二面角的平面角。AB 垂直面 VAD，因此 APB 在 A 處為直角。
$AP=\frac{\sqrt3}2a,\quad AB=a$
在 P 處使用對邊比鄰邊。
$\tan x=\frac{AB}{AP}=\frac2{\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}3$

先思考，待同學準備好再展開提示。