在指定角度條件下，對正偶數 n 證明複數有限和恆等式。

01 / 鞏固#獨立練習

w=\cos\theta+i\sin\theta,\quad0<\theta<2\pi,\ \theta\ne\pi

官方試卷 · jm02-2025 · 4(c) · PDF 6

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用有限等比和公式。

提示 2

把 e^{it}−1 分解為 2ie^{it/2}sin(t/2)。

完整解答

因為 w≠1，所以求和分母非零。
$\sum_{k=0}^nw^k=\frac{e^{i(n+1)\theta}-1}{e^{i\theta}-1}$
分解分子分母並化簡指數相位。
$\frac{2ie^{i(n+1)\theta/2}\sin((n+1)\theta/2)}{2ie^{i\theta/2}\sin(\theta/2)}=e^{in\theta/2}\frac{\sin((n+1)\theta/2)}{\sin(\theta/2)}=w^{n/2}\frac{\sin((n+1)\theta/2)}{\sin(\theta/2)}$

恆等式成立；n/2 為整數，且 sin(θ/2)≠0。

檢查與易錯點：使用指數相位可避免任意選取 w 的複平方根所造成的歧義。

推理清單・自評／教師評核

以下為自編教學評核清單；官方分值以原卷為準。
因為 w≠1，所以求和分母非零。
$\sum_{k=0}^nw^k=\frac{e^{i(n+1)\theta}-1}{e^{i\theta}-1}$
分解分子分母並化簡指數相位。
$\frac{2ie^{i(n+1)\theta/2}\sin((n+1)\theta/2)}{2ie^{i\theta/2}\sin(\theta/2)}=e^{in\theta/2}\frac{\sin((n+1)\theta/2)}{\sin(\theta/2)}=w^{n/2}\frac{\sin((n+1)\theta/2)}{\sin(\theta/2)}$

先思考，待同學準備好再展開提示。

2025 JM02