2022 JM02

1. 等腰三角形 CDE 給出 DM⊥CE、DM=1。

   $$CM=ME=1,\quad DM=\sqrt{DE^2-ME^2}=\sqrt{2-1}=1$$

2. MB=2、CB=3；兩相似三角形在 B 有共同角。

   $$\frac{AC}{CB}=\frac{DM}{MB}=\frac12\implies AC=3/2$$

AC=3/2。

檢查與易錯點：MB 包括 ME、EB，所以 MB=2。

1. 比較長度平方。

   $$CD^2+DE^2=2+2=4=CE^2$$

2. 因此 CDE 在 D 處為直角。

   $$\angle CDE=\pi/2$$

∠CDE=π/2。

檢查與易錯點：最長邊 CE 為斜邊。

1. 求三邊長。

   $$DB=\sqrt{1+4}=\sqrt5,\quad CD=\sqrt2,\quad CB=3$$

2. 求 CB 對角的餘弦。

   $$\cos\angle CDB=\frac{2+5-9}{2\sqrt2\sqrt5}=-\frac1{\sqrt{10}}$$

∠CDB=arccos(−1/√10)。

檢查與易錯點：餘弦為負表示角為鈍角。

1. 由底面斜邊及兩種面積表示求高。

   $$AB=\sqrt{(3/2)^2+3^2}=3\sqrt5/2,\quad CX=\frac{AC\,BC}{AB}=3/\sqrt5$$

2. AB 垂直 PC、CX，故垂直面 PCX 及 PX。在直角三角形 PCX 使用正切比。

   $$\tan\angle PXC=\frac{PC}{CX}=\sqrt5\implies\angle PXC=\arctan\sqrt5$$

二面角為 arctan√5。

檢查與易錯點：須用垂直公共棱 AB 的兩線所夾平面角。

1. 分解三次式。

   $$f(x)=(x-1)(x^2-2x-2)$$

2. 使用求根公式。

   $$x=1,\quad x=1\pm\sqrt3$$

x=1、1−√3、1+√3。

檢查與易錯點：f(1)=0 只確定一個根，並非全部根。

1. 一階導數。

   $$f'(x)=3x^2-6x$$

2. 二階導數。

   $$f''(x)=6x-6$$

f′=3x²−6x；f″=6x−6。

檢查與易錯點：常數 2 對導數的貢獻為零。

1. 0、2 兩側導數符號依次為 +、−、+。

   $$f'(x)=3x(x-2)$$

2. 計算相應函數值。

   $$f(0)=2\text{ (local maximum)},\quad f(2)=-2\text{ (local minimum)}$$

x=0 處局部極大值 2；x=2 處局部極小值 −2。

檢查與易錯點：這些是三次函數的局部極值，不是全域極值。

1. 二階導數在 x=1 由負變正。

   $$f''(x)=6(x-1)$$

2. 已知零點給出縱坐標。

   $$f(1)=0\implies(1,0)$$

拐點為 (1,0)。

檢查與易錯點：凹凸性檢查可區分拐點與單純 f″ 零點。

1. 曲線上升至 (0,2)，下降至 (2,−2)，再上升。

   $$x\text{-intercepts}:1-\sqrt3,1,1+\sqrt3$$

2. x<1 向下凹，x>1 向上凹，拐點 (1,0)。

   $$x\to\pm\infty\implies f(x)\to\pm\infty$$

圖示包含所有所求特徵，並延伸至視窗外。

檢查與易錯點：中央零點也是拐點，但不是極值點。

1. 求得 x=2、6。

   $$2x^2-16x+24=2(x-2)(x-6)=0$$

2. 積分上方減下方。

   $$A=\int_2^6(-2x^2+16x-24)\,dx=\left[-\frac23x^3+8x^2-24x\right]_2^6=\frac{64}3$$

面積為 64/3。

檢查與易錯點：幾何面積的被積高度須非負。

1. 以坐標寫出內積方程。

   $$2(x+1)=2\sqrt{(x-1)^2+y^2}\implies x+1\ge0$$

2. 平方化簡。

   $$(x+1)^2=(x-1)^2+y^2\iff y^2=4x$$

3. 反之 y²=4x 保證 x≥0、x+1>0，故可逆向開平方。

恰為拋物線 y²=4x。

檢查與易錯點：軌跡方程平方後須檢查逆向及符號。

1. 隱函數求導，代入切點。

   $$2y\,y'=4\implies a=2/t,\quad t\ne0$$

2. 切線截距為 t−a·t²/4=t/2。

   $$b=t/2\implies ab=(2/t)(t/2)=1$$

ab=1。

檢查與易錯點：頂點切線 x=0 為垂直線，不在指定形式內。

1. 分解交點方程。

   $$m^2x^2=4x\iff x(m^2x-4)=0$$

2. 取非零根並求回 y。

   $$P=(4/m^2,4/m)$$

P=(4/m²,4/m)。

檢查與易錯點：m>0 保證式有定義，且 P 非原點。

1. 求斜率公式。

   $$2y\frac{dy}{dx}=4\implies\frac{dy}{dx}=2/y$$

2. 在 P 求值。

   $$\left.\frac{dy}{dx}\right|_P=\frac2{4/m}=m/2$$

切線斜率 m/2。

檢查與易錯點：切線斜率與割線斜率 m 不同。

1. 表示夾角正切。

   $$\frac{m-m/2}{1+m^2/2}=\frac m{2+m^2}=\frac14$$

2. 解二次式，兩根皆正。

   $$m^2-4m+2=0\implies m=2\pm\sqrt2$$

m=2±√2。

檢查與易錯點：兩個正參數值都可產生同一夾角。

1. 等距離表示距離平方相等。

   $$(x-3)^2+(y-5)^2=(x-5)^2+(y-1)^2$$

2. 整理一次項。

   $$4x-8y+8=0\iff x-2y+2=0$$

x−2y+2=0。

檢查與易錯點：此為 z₁、z₂ 連線的垂直平分線。

1. 標出兩個定點。

   $$z_1\leftrightarrow(3,5),\quad z_2\leftrightarrow(5,1)$$

2. 畫過中點 (4,3)、斜率 1/2 的整條直線。

   $$y=x/2+1,\quad x\in\mathbb R$$

圖示標記兩點及完整垂直平分線。

檢查與易錯點：軌跡為直線，不只是圖中所見線段。

1. 求兩定點距離。

   $$|z_2-z_1|=|2-4i|=\sqrt{20}=2\sqrt5$$

2. 取一半，在 z=4+3i 達到。

   $$\min|z-z_1|=\sqrt5$$

z=4+3i 時最小值 √5。

檢查與易錯點：z₁ 本身並不與兩定點等距。

1. 把幅角乘七。

   $$\omega^7=\cos2\pi+i\sin2\pi=1$$

2. 2π/7 不是 2π 的整數倍，故 ω−1≠0。

   $$1+\omega+\cdots+\omega^6=\frac{\omega^7-1}{\omega-1}=0$$

ω⁷=1；七項和為零。

檢查與易錯點：除以 ω−1 前須確認 ω≠1。

1. 對兩個符號使用棣美弗定理。

   $$\omega^{\pm n}=\cos(2n\pi/7)\pm i\sin(2n\pi/7)$$

2. 把共軛式相加。

   $$\omega^n+\omega^{-n}=2\cos(2n\pi/7)$$

恆等式對每個正整數 n 成立。

檢查與易錯點：負次方是倒數，因模為一才等於共軛。

1. 展開每個餘弦平方。

   $$S=\frac14\sum_{n=1}^3(\omega^{2n}+2+\omega^{-2n})$$

2. 六個非常數次方恰為 ω 至 ω⁶ 的重新排序。

   $$S=\frac14(6+\omega+\omega^2+\cdots+\omega^6)=\frac14(6-1)=\frac54$$

5/4。

檢查與易錯點：每個共軛和平方會產生常數 2。

1. 第二列加第一列成常數列，再用行列式多線性消去第三列的常數向量部分，全程毋須除以 s。

   $$D=\det[\,v,\ s\mathbf1,\ t\mathbf1-v^{[2]}\,]=-s\det[\,v,\mathbf1,v^{[2]}\,]=s\det[\,\mathbf1,v,v^{[2]}\,]$$

2. 計算范德蒙行列式並整理因子。

   $$D=(a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b)=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$$

(a−b)(b−c)(c−a)(a+b+c)。

檢查與易錯點：推導沒有除以 a+b+c，因此亦包括其為零的情況。

1. 沿第一行展開。

   $$\Delta=\begin{vmatrix}1&1&p\\p&1&1\\1&p&1\end{vmatrix}=1-p-(p-1)+p(p^2-1)=p^3-3p+2$$

2. 要求行列式非零。

   $$\Delta=(p-1)^2(p+2)\ne0\iff p\ne1,-2$$

任何 q 下，p∈ℝ∖{1,−2}。

檢查與易錯點：右方參數 q 不影響係數矩陣可逆性。

1. p=1 時左方均為 x+y+z，相容要求 q=1。

   $$p=1,q=1:\quad(x,y,z)=(1-s-t,s,t),\quad s,t\in\mathbb R$$

2. p=−2 時三式相加得 0=q−1，同樣要求 q=1。

   $$x+y-2z=1,\quad-2x+y+z=-2$$

3. 解兩個獨立方程並驗證第三式。

   $$p=-2,q=1:\quad(x,y,z)=(1+t,t,t),\quad t\in\mathbb R$$

(p,q)=(1,1)：(1−s−t,s,t)；(−2,1)：(1+t,t,t)。沒有其他多解情況。

檢查與易錯點：係數矩陣奇異時，若 q≠1 仍會無解。