因式分解行列式。

01 / 鞏固#獨立練習

D=\begin{vmatrix}a&b+c&b^2+c^2\\b&a+c&a^2+c^2\\c&a+b&a^2+b^2\end{vmatrix}

官方試卷 · jm02-2022 · 5(a) · PDF 7

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

設 s=a+b+c、t=a²+b²+c²。

提示 2

用列運算化成范德蒙行列式。

完整解答

第二列加第一列成常數列，再用行列式多線性消去第三列的常數向量部分，全程毋須除以 s。
$D=\det[\,v,\ s\mathbf1,\ t\mathbf1-v^{[2]}\,]=-s\det[\,v,\mathbf1,v^{[2]}\,]=s\det[\,\mathbf1,v,v^{[2]}\,]$
計算范德蒙行列式並整理因子。
$D=(a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b)=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

(a−b)(b−c)(c−a)(a+b+c)。

檢查與易錯點：推導沒有除以 a+b+c，因此亦包括其為零的情況。

推理清單・自評／教師評核

以下為自編教學評核清單；官方分值以原卷為準。
第二列加第一列成常數列，再用行列式多線性消去第三列的常數向量部分，全程毋須除以 s。
$D=\det[\,v,\ s\mathbf1,\ t\mathbf1-v^{[2]}\,]=-s\det[\,v,\mathbf1,v^{[2]}\,]=s\det[\,\mathbf1,v,v^{[2]}\,]$
計算范德蒙行列式並整理因子。
$D=(a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b)=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

先思考，待同學準備好再展開提示。

2022 JM02