求所有使方程組有多解的 p、q，並列各通解。

01 / 鞏固#獨立練習

\begin{cases}x+y+pz=1\\px+y+z=p\\x+py+z=q\end{cases}

官方試卷 · jm02-2022 · 5(b)(ii) · PDF 7

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

只有 p=1、−2 可能非唯一。

提示 2

每個情況先檢查相容，再參數化。

完整解答

p=1 時左方均為 x+y+z，相容要求 q=1。
$p=1,q=1:\quad(x,y,z)=(1-s-t,s,t),\quad s,t\in\mathbb R$
p=−2 時三式相加得 0=q−1，同樣要求 q=1。
$x+y-2z=1,\quad-2x+y+z=-2$
解兩個獨立方程並驗證第三式。
$p=-2,q=1:\quad(x,y,z)=(1+t,t,t),\quad t\in\mathbb R$

(p,q)=(1,1)：(1−s−t,s,t)；(−2,1)：(1+t,t,t)。沒有其他多解情況。

檢查與易錯點：係數矩陣奇異時，若 q≠1 仍會無解。

推理清單・自評／教師評核

以下為自編教學評核清單；官方分值以原卷為準。
p=1 時左方均為 x+y+z，相容要求 q=1。
$p=1,q=1:\quad(x,y,z)=(1-s-t,s,t),\quad s,t\in\mathbb R$
p=−2 時三式相加得 0=q−1，同樣要求 q=1。
$x+y-2z=1,\quad-2x+y+z=-2$
解兩個獨立方程並驗證第三式。
$p=-2,q=1:\quad(x,y,z)=(1+t,t,t),\quad t\in\mathbb R$

先思考，待同學準備好再展開提示。

2022 JM02