學習・解釋・訂正

參數曲線及範圍保留

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

T04高二理組數學思維本(2026).pdf · V. Parametric equations (PDF27–29) · PDF 27 / 印刷頁 26

先重溫：拋物線

專題 01

參數曲線及範圍保留

消去參數，同時保留範圍、缺點及軌跡的幾何意義。

學完之後，你能解釋

消去參數，同時保留範圍、缺點及軌跡的幾何意義。
在新情境中說明方法的理由，並檢查適用條件。

模型或定義

消去參數，同時保留範圍、缺點及軌跡的幾何意義。

x=f(s),\quad y=g(s)

適用條件

消元方程可能包含額外點；須保留參數定義域所帶來的全部限制。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：x=s²、y=s⁴ 與 x=s、y=s² 是否描出相同點集？

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

二次圖像：水平平移 0，垂直平移 0；自變量改成 x−0。

解釋：比較兩個符合條件的情況，利用所述模型解釋結果差異。

遷移：比較消元後 x 的限制，再構造另一個範圍缺漏例子。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

消去此直線表示中的 s。

x=s+2,\quad y=2s+1

消元方程可能包含額外點；須保留參數定義域所帶來的全部限制。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

使用此中間關係式。

s=x−t

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$y=2(x-2)+1=2x-3$
無限制的實參數描出整條直線。

所求關係或結論如下。

y=2x-3

檢查與易錯點：無限制的實參數描出整條直線。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

在 x=t cos s、y=2sin s 上，求 x+ty 的最大值。

t=3

消元方程可能包含額外點；須保留參數定義域所帶來的全部限制。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

使用此中間關係式。

x+ty=t(cos s+2sin s)

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$\max=t\sqrt{1^2+2^2}=3\sqrt5$
完整角度範圍使振幅最大值可達到。

所求值為 6.7082039325。

檢查與易錯點：完整角度範圍使振幅最大值可達到。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

由 x=t+s、y=t−s 消去 s，並在0≤s≤2時求範圍。

t=4

消元方程可能包含額外點；須保留參數定義域所帶來的全部限制。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

把兩式相加，並轉換參數區間。

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$x+y=8$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$4\le t+s\le6$
結果是線段，不是整條支撐直線。

所求關係或結論如下。

x+y=8,\quad 4\le x\le6

檢查與易錯點：結果是線段，不是整條支撐直線。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

消去此直線表示中的 s。

x=s+5,\quad y=2s+1

消元方程可能包含額外點；須保留參數定義域所帶來的全部限制。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

使用此中間關係式。

s=x−t

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$y=2(x-5)+1=2x-9$
無限制的實參數描出整條直線。

所求關係或結論如下。

y=2x-9

檢查與易錯點：無限制的實參數描出整條直線。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

消去 s 並保留範圍。

x=s^2,\quad y=s^4+6

消元方程可能包含額外點；須保留參數定義域所帶來的全部限制。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

使用此中間關係式。

x=s²≥0

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$y=(s^2)^2+6=x^2+6$
只描出拋物線的右半部。

所求關係或結論如下。

y=x^2+6,\quad x\ge0

檢查與易錯點：只描出拋物線的右半部。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

求參數圓的直角座標式。

x=1+7\cos s,\quad y=2+7\sin s

消元方程可能包含額外點；須保留參數定義域所帶來的全部限制。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

使用此中間關係式。

cos²s+sin²s=1

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$(x-1)^2+(y-2)^2=49(\cos^2s+\sin^2s)$
無限制的角參數描出完整圓。

所求關係或結論如下。

(x-1)^2+(y-2)^2=49

檢查與易錯點：無限制的角參數描出完整圓。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

消去 s，並保留排除點。

x=1/s,\quad y=8/s,\quad s\ne0

消元方程可能包含額外點；須保留參數定義域所帶來的全部限制。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

x=1/s 不可能等於零。

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$y=8x$
原點符合直線方程，卻永不被此參數表示取到。

所求關係或結論如下。

y=8x,\quad x\ne0

檢查與易錯點：原點符合直線方程，卻永不被此參數表示取到。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

消去 s，並保留排除點。

x=1/s,\quad y=9/s,\quad s\ne0

消元方程可能包含額外點；須保留參數定義域所帶來的全部限制。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

x=1/s 不可能等於零。

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$y=9x$
原點符合直線方程，卻永不被此參數表示取到。

所求關係或結論如下。

y=9x,\quad x\ne0

檢查與易錯點：原點符合直線方程，卻永不被此參數表示取到。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

在 x=t cos s、y=2sin s 上，求 x+ty 的最大值。

t=10

消元方程可能包含額外點；須保留參數定義域所帶來的全部限制。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

使用此中間關係式。

x+ty=t(cos s+2sin s)

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$\max=t\sqrt{1^2+2^2}=10\sqrt5$
完整角度範圍使振幅最大值可達到。

所求值為 22.360679775。

檢查與易錯點：完整角度範圍使振幅最大值可達到。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

x=t cos s、y=t sin s，0≤s≤π。描述軌跡。

t=11

消元方程可能包含額外點；須保留參數定義域所帶來的全部限制。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

在所指定區間中 sin s≥0。

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$x^2+y^2=121$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$y=11\sin s\ge0$
角度限制只描出上半圓。

所求關係或結論如下。

x^2+y^2=121,\quad y\ge0

檢查與易錯點：角度限制只描出上半圓。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

由 x=t+s、y=t−s 消去 s，並在0≤s≤2時求範圍。

t=12

消元方程可能包含額外點；須保留參數定義域所帶來的全部限制。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

把兩式相加，並轉換參數區間。

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$x+y=24$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$12\le t+s\le14$
結果是線段，不是整條支撐直線。

所求關係或結論如下。

x+y=24,\quad 12\le x\le14

檢查與易錯點：結果是線段，不是整條支撐直線。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

x=t cos s、y=t sin s，0≤s≤π。描述軌跡。

t=13

消元方程可能包含額外點；須保留參數定義域所帶來的全部限制。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

在所指定區間中 sin s≥0。

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$x^2+y^2=169$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$y=13\sin s\ge0$
角度限制只描出上半圓。

所求關係或結論如下。

x^2+y^2=169,\quad y\ge0

檢查與易錯點：角度限制只描出上半圓。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

由 x=t+s、y=t−s 消去 s，並在0≤s≤2時求範圍。

t=14

消元方程可能包含額外點；須保留參數定義域所帶來的全部限制。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

把兩式相加，並轉換參數區間。

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$x+y=28$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$14\le t+s\le16$
結果是線段，不是整條支撐直線。

所求關係或結論如下。

x+y=28,\quad 14\le x\le16

檢查與易錯點：結果是線段，不是整條支撐直線。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

課末檢核與訂正

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教師備課與評核

提問順序

消去參數，同時保留範圍、缺點及軌跡的幾何意義。
「參數曲線及範圍保留」中哪一個條件不可缺少？
x=s²、y=s⁴ 與 x=s、y=s² 是否描出相同點集？

板書重點

模型或定義：消去參數，同時保留範圍、缺點及軌跡的幾何意義。
$x=f(s),\quad y=g(s)$
適用條件：消元方程可能包含額外點；須保留參數定義域所帶來的全部限制。

預期想法

相同的直角座標方程不一定表示相同的參數軌跡。

評核清單

1分：選取正確表示法及條件。
1分：建立中間關係式。
1分：完成連貫的計算或證明。
1分：解釋並檢查結論。