三棱錐 P–ABC 中 PC⊥面 ABC、PC=3、∠BCA=π/2。D 在 AB、E 在 BC 上；CD=DE=√2、CE=2、EB=1。以 arctan 表示二面角 P–AB–C。

01 / 鞏固#獨立練習

官方試卷 · jm02-2022 · 1(c) · PDF 3

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

設 X 為 C 在 AB 上的垂足。

提示 2

PC⊥底面可推出 PX⊥AB，因此 ∠PXC 為平面角。

完整解答

由底面斜邊及兩種面積表示求高。
$AB=\sqrt{(3/2)^2+3^2}=3\sqrt5/2,\quad CX=\frac{AC\,BC}{AB}=3/\sqrt5$
AB 垂直 PC、CX，故垂直面 PCX 及 PX。在直角三角形 PCX 使用正切比。
$\tan\angle PXC=\frac{PC}{CX}=\sqrt5\implies\angle PXC=\arctan\sqrt5$

二面角為 arctan√5。

檢查與易錯點：須用垂直公共棱 AB 的兩線所夾平面角。

推理清單・自評／教師評核

以下為自編教學評核清單；官方分值以原卷為準。
由底面斜邊及兩種面積表示求高。
$AB=\sqrt{(3/2)^2+3^2}=3\sqrt5/2,\quad CX=\frac{AC\,BC}{AB}=3/\sqrt5$
AB 垂直 PC、CX，故垂直面 PCX 及 PX。在直角三角形 PCX 使用正切比。
$\tan\angle PXC=\frac{PC}{CX}=\sqrt5\implies\angle PXC=\arctan\sqrt5$

先思考，待同學準備好再展開提示。

2022 JM02