求使方程組有唯一解的所有 p。

01 / 鞏固#獨立練習

\begin{cases}x+y+pz=1\\px+y+z=p\\x+py+z=q\end{cases}

官方試卷 · jm02-2022 · 5(b)(i) · PDF 7

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

計算係數行列式。

提示 2

因式分解 p 的三次式。

完整解答

沿第一行展開。
$\Delta=\begin{vmatrix}1&1&p\\p&1&1\\1&p&1\end{vmatrix}=1-p-(p-1)+p(p^2-1)=p^3-3p+2$
要求行列式非零。
$\Delta=(p-1)^2(p+2)\ne0\iff p\ne1,-2$

任何 q 下，p∈ℝ∖{1,−2}。

檢查與易錯點：右方參數 q 不影響係數矩陣可逆性。

推理清單・自評／教師評核

以下為自編教學評核清單；官方分值以原卷為準。
沿第一行展開。
$\Delta=\begin{vmatrix}1&1&p\\p&1&1\\1&p&1\end{vmatrix}=1-p-(p-1)+p(p^2-1)=p^3-3p+2$
要求行列式非零。
$\Delta=(p-1)^2(p+2)\ne0\iff p\ne1,-2$

先思考，待同學準備好再展開提示。

2022 JM02