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學習・解釋・訂正

對正整數 n 證明共軛次方恆等式。

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

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專題 01

2022 JM02

負次方是倒數，因模為一才等於共軛。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 鞏固#獨立練習

對正整數 n 證明共軛次方恆等式。

\omega^n+\omega^{-n}=2\cos\frac{2n\pi}7,\quad\omega=\operatorname{cis}(2\pi/7)

官方試卷 · jm02-2022 · 4(b)(ii) · PDF 6

官方原卷及參考答案 ↗ · 參考答案 PDF 頁 11

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

用 |ω|=1 理解負次方。

提示 2

兩虛部互相抵消。

完整解答

對兩個符號使用棣美弗定理。
$\omega^{\pm n}=\cos(2n\pi/7)\pm i\sin(2n\pi/7)$
把共軛式相加。
$\omega^n+\omega^{-n}=2\cos(2n\pi/7)$

恆等式對每個正整數 n 成立。

檢查與易錯點：負次方是倒數，因模為一才等於共軛。

推理清單・自評／教師評核

以下為自編教學評核清單；官方分值以原卷為準。
對兩個符號使用棣美弗定理。
$\omega^{\pm n}=\cos(2n\pi/7)\pm i\sin(2n\pi/7)$
把共軛式相加。
$\omega^n+\omega^{-n}=2\cos(2n\pi/7)$

先思考，待同學準備好再展開提示。