2024 JM02

1. 求 AC 及 AD。

   $$AC=PA/\tan(\pi/6)=\sqrt3,\quad AD=PA=1$$

2. 勾股定理逆定理得 DA⊥AC。

   $$AD^2+AC^2=1+3=4=DC^2$$

3. 又 PAD 在 A 處直角，故 DA⊥AP；因此 DA 垂直面 APC，從而 DA⊥PC。

DA⊥PC。

檢查與易錯點：只垂直面內一條線不足以證明垂直該平面。

1. 底面三角形在 C 處直角。

   $$\sin\angle DCA=1/2\implies\angle DCA=\pi/6,\quad\angle DCB=\pi/6+\pi/3=\pi/2$$

2. 使用底面積及垂直高度。

   $$[BCD]=\frac12(2)(\sqrt3)=\sqrt3,\quad V=\frac13[BCD]\,PA=\frac{\sqrt3}3$$

體積為 √3/3。

檢查與易錯點：圖中相對位置決定兩角應相加。

1. 兩三角形各自的等腰條件使中線也是高。

   $$PA=DA=1,\quad PC=\sqrt{1+3}=2=DC,\quad AM\perp PD,\ CM\perp PD$$

2. 用直角三角形求長度。

   $$PD=\sqrt2,\quad AM=\frac{\sqrt2}2,\quad CM=\sqrt{4-1/2}=\frac{\sqrt{14}}2$$

3. 在 AMC 使用餘弦定理。

   $$\cos\angle AMC=\frac{AM^2+CM^2-AC^2}{2AM\,CM}=\frac{1/2+7/2-3}{\sqrt7}=\frac{\sqrt7}7$$

餘弦為 √7/7。

檢查與易錯點：必須用垂直公共棱的平面角，不能隨意取側面上的角。

1. 高取非負平方根。

   $$h=\sqrt{1-x^2},\quad0\le x\le1$$

2. 代入體積公式並平方。

   $$V=\frac\pi3x^2h\implies V^2=\frac{\pi^2}{9}(x^4-x^6)$$

V²=π²(x⁴−x⁶)/9，0≤x≤1。

檢查與易錯點：端點表示退化圓錐，在此閉區間模型中保留。

1. 唯一內部駐點為 √(2/3)。

   $$(V^2)'=\frac{2\pi^2}{9}x^3(2-3x^2)=0\implies x=\frac{\sqrt6}3$$

2. 導數由正變負；內部沒有局部極小值。

   $$V^2(\sqrt6/3)=\frac{\pi^2}9\left(\frac49-\frac8{27}\right)=\frac{4\pi^2}{243}$$

x=√6/3 處局部極大值為 4π²/243；(0,1) 內無局部極小值。

檢查與易錯點：指定開區間時不可把端點最小值計作內部局部極小值。

1. 解內部二階導數方程。

   $$(V^2)''=\frac{2\pi^2}3x^2(2-5x^2),\quad x=\sqrt{2/5}=\frac{\sqrt{10}}5$$

2. 凹凸性由向上變向下，再求縱坐標。

   $$V^2(\sqrt{2/5})=\frac{\pi^2}9\left(\frac4{25}-\frac8{125}\right)=\frac{4\pi^2}{375}$$

拐點為 (√10/5,4π²/375)。

檢查與易錯點：x=0 是邊界，並非此半徑定義域曲線的拐點。

1. 曲線由零點以水平切線開始，上升至極大值，再下降至零。

   $$0<\sqrt{2/5}<\sqrt{2/3}<1$$

2. √(2/5) 前向上凹，之後向下凹。

   $$\max y=4\pi^2/243,\quad y(0)=y(1)=0$$

圖示完整定義域、極大點及拐點。

檢查與易錯點：縱坐標是體積平方，不是體積。

1. 兩端體積皆為零，內部極大值較大。

   $$\max V^2=4\pi^2/243$$

2. 換回體積並用立方米為單位。

   $$V_{\max}=\sqrt{\frac{4\pi^2}{243}}=\frac{2\sqrt3\pi}{27}\ \mathrm{m}^3$$

最大體積為 2√3π/27 立方米。

檢查與易錯點：不要把體積平方的最大值當作體積。

1. 把面積分成兩個積分。

   $$A=\int_0^k\left(\frac{x^2}k-\frac{x^2}{2k}\right)dx+\int_k^{2k}\left(x-\frac{x^2}{2k}\right)dx$$

2. 計算並保留正參數。

   $$A=\frac{k^2}6+\frac{k^2}3=\frac{k^2}2=1\implies k=\sqrt2$$

k=√2。

檢查與易錯點：整段只積分固定兩條曲線會算錯區域。

1. 代入後去分母。

   $$4x^2-m^2(x-\sqrt5)^2=4$$

2. 整理並整體變號。

   $$(m^2-4)x^2-2\sqrt5m^2x+5m^2+4=0$$

(m²−4)x²−2√5m²x+5m²+4=0。

檢查與易錯點：平方展開時保留交叉項 −2√5x。

1. 計算判別式。

   $$\Delta=20m^4-4(m^2-4)(5m^2+4)=64(m^2+1)>0$$

2. 只需排除首項係數退化的值。

   $$m\in\mathbb R\setminus\{-2,2\}$$

所有實數 m，±2 除外。

檢查與易錯點：若方程退化成一次式，只有正判別式條件並不足夠。

1. 使用韋達公式。

   $$s=x_1+x_2=\frac{2\sqrt5m^2}{m^2-4},\quad p=x_1x_2=\frac{5m^2+4}{m^2-4}$$

2. 展開內積並代入。

   $$0=p+m^2(p-\sqrt5s+5)=\frac{4-11m^2}{m^2-4}$$

3. 求解並檢查排除值。

   $$m=\pm\frac2{\sqrt{11}}=\pm\frac{2\sqrt{11}}{11}\ne\pm2$$

m=±2√11/11。

檢查與易錯點：分母限制 m≠±2 仍須保留。

1. 計算根的距離。

   $$x_1+x_2=10\sqrt5,\quad x_1x_2=29,\quad|x_1-x_2|=\sqrt{500-116}=8\sqrt6$$

2. 在行列式代入 y=√5x−5。

   $$[AOB]=\frac12|x_1y_2-x_2y_1|=\frac52|x_2-x_1|=20\sqrt6$$

面積為 20√6。

檢查與易錯點：面積須取行列式絕對值，與頂點排序無關。

1. 把兩數寫成極式。

   $$\sqrt3+i=2\operatorname{cis}(\pi/6),\quad1+i=\sqrt2\operatorname{cis}(\pi/4)$$

2. 所得幅角已在主值範圍。

   $$z=\sqrt2[\cos(-\pi/12)+i\sin(-\pi/12)]$$

模為 √2，主幅角為 −π/12。

檢查與易錯點：複數相除時幅角相減。

1. 使用棣美弗定理。

   $$z^{26}=2^{13}\operatorname{cis}(-13\pi/6)=2^{13}\operatorname{cis}(-\pi/6)$$

2. 代入三角比精確值。

   $$z^{26}=2^{12}\sqrt3-2^{12}i$$

4096√3−4096i。

檢查與易錯點：模為 (√2)²⁶=2¹³，不是 2²⁶。

1. 兩次方實部相同，虛部相反。

   $$\omega^{\pm n}=\cos n\alpha\pm i\sin n\alpha$$

2. 相加、相減即得兩個所求公式。

   $$\omega^n+\omega^{-n}=2\cos n\alpha,\quad\omega^n-\omega^{-n}=2i\sin n\alpha$$

3. 利用上述公式展開乘積。

   $$\sin^2\alpha\cos^3\alpha=-\frac1{32}(\omega^2-2+\omega^{-2})(\omega^3+3\omega+3\omega^{-1}+\omega^{-3})$$

4. 收集對稱次方並換回餘弦。

   $$=-\frac1{32}\big[(\omega^5+\omega^{-5})+(\omega^3+\omega^{-3})-2(\omega+\omega^{-1})\big]=\frac{2\cos\alpha-\cos3\alpha-\cos5\alpha}{16}$$

兩個冪公式及乘積恆等式均得證。

檢查與易錯點：一次方對稱配對為 ω+ω⁻¹，才能換成 2cosα。

1. 化成正弦或餘弦為零。

   $$16\sin^2\alpha\cos^3\alpha=0\iff\sin\alpha=0\ \text{or}\ \cos\alpha=0$$

2. 合併兩族解。

   $$\alpha=k\pi\ \text{or}\ \alpha=\pi/2+k\pi\iff\alpha=n\pi/2,\ n\in\mathbb Z$$

α=nπ/2，n∈ℤ。

檢查與易錯點：除以正弦或餘弦會遺漏整族解。

1. 第二行各項變成相同。

   $$D=(a+b+c)\begin{vmatrix}a&b&c\\1&1&1\\1+b&1+c&1+a\end{vmatrix}$$

2. 列相減後，沿第二行展開。

   $$D=-(a+b+c)\begin{vmatrix}b-a&c-a\\c-b&a-b\end{vmatrix}$$

3. 展開並收集二次因式。

   $$D=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$$

(a+b+c)(a²+b²+c²−ab−bc−ca)。

檢查與易錯點：位置 (2,1) 的代數餘子式有負號。

1. 展開行列式。

   $$\begin{vmatrix}1&1&1\\k&5&1\\1&k&-1\end{vmatrix}=(-5-k)+(k+1)+(k^2-5)=k^2-9$$

2. 排除兩個零點。

   $$k\in\mathbb R\setminus\{-3,3\}$$

k≠±3。

檢查與易錯點：行列式為零只排除唯一解，未必表示無解。

1. 第二式減去第一式的三倍。

   $$2y-2z=0\implies y=z=t$$

2. 求回 x 並驗證第三式。

   $$x=1-2t,\quad x+3y-z=1-2t+3t-t=1$$

(x,y,z)=(1−2t,t,t)，t∈ℝ。

檢查與易錯點：第三式為相依方程，所以 t 保持自由。

1. 連同定義域化簡最後方程。

   $$t\ge0,\quad a=2(1-2t)+2\sqrt t+3t=2-t+2\sqrt t$$

2. 平方項最小為零。

   $$a=3-(\sqrt t-1)^2\le3,\quad a=3\iff t=1$$

3. 代回等號成立的情況。

   $$(x,y,z)=(-1,1,1)$$

a 最大為 3，只在 (−1,1,1) 達到。

檢查與易錯點：平方根要求 y=t≥0。