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學習・解釋・訂正

A、B、C、D 如官方圖共面，B、D 位於 AC 兩側。ABC 為正三角形；PAD 為以 A 為直角的等腰直角三角形；∠PAC=π/2、∠PCA=π/6、PA=1、CD=2。求面 APD、CPD 二面角的餘弦。

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

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專題 01

2024 JM02

必須用垂直公共棱的平面角，不能隨意取側面上的角。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 鞏固#獨立練習

A、B、C、D 如官方圖共面，B、D 位於 AC 兩側。ABC 為正三角形；PAD 為以 A 為直角的等腰直角三角形；∠PAC=π/2、∠PCA=π/6、PA=1、CD=2。求面 APD、CPD 二面角的餘弦。

官方試卷 · jm02-2024 · 1(c) · PDF 3

官方原卷及參考答案 ↗ · 參考答案 PDF 頁 8

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

取公共棱 PD 中點 M。

提示 2

AM、CM 都垂直 PD。

完整解答

兩三角形各自的等腰條件使中線也是高。
$PA=DA=1,\quad PC=\sqrt{1+3}=2=DC,\quad AM\perp PD,\ CM\perp PD$
用直角三角形求長度。
$PD=\sqrt2,\quad AM=\frac{\sqrt2}2,\quad CM=\sqrt{4-1/2}=\frac{\sqrt{14}}2$
在 AMC 使用餘弦定理。
$\cos\angle AMC=\frac{AM^2+CM^2-AC^2}{2AM\,CM}=\frac{1/2+7/2-3}{\sqrt7}=\frac{\sqrt7}7$

餘弦為 √7/7。

檢查與易錯點：必須用垂直公共棱的平面角，不能隨意取側面上的角。

推理清單・自評／教師評核

以下為自編教學評核清單；官方分值以原卷為準。
兩三角形各自的等腰條件使中線也是高。
$PA=DA=1,\quad PC=\sqrt{1+3}=2=DC,\quad AM\perp PD,\ CM\perp PD$
用直角三角形求長度。
$PD=\sqrt2,\quad AM=\frac{\sqrt2}2,\quad CM=\sqrt{4-1/2}=\frac{\sqrt{14}}2$
在 AMC 使用餘弦定理。
$\cos\angle AMC=\frac{AM^2+CM^2-AC^2}{2AM\,CM}=\frac{1/2+7/2-3}{\sqrt7}=\frac{\sqrt7}7$

先思考，待同學準備好再展開提示。