第一象限內 y=x、y=x²/k、y=x²/(2k) 圍成面積為 1 的區域，k>0，求 k。

01 / 鞏固#獨立練習

官方試卷 · jm02-2024 · 2(b) · PDF 4

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

直線與兩拋物線的另一交點橫坐標為 k、2k。

提示 2

上邊界在 x=k 改變。

完整解答

把面積分成兩個積分。
$A=\int_0^k\left(\frac{x^2}k-\frac{x^2}{2k}\right)dx+\int_k^{2k}\left(x-\frac{x^2}{2k}\right)dx$
計算並保留正參數。
$A=\frac{k^2}6+\frac{k^2}3=\frac{k^2}2=1\implies k=\sqrt2$

k=√2。

檢查與易錯點：整段只積分固定兩條曲線會算錯區域。

推理清單・自評／教師評核

以下為自編教學評核清單；官方分值以原卷為準。
把面積分成兩個積分。
$A=\int_0^k\left(\frac{x^2}k-\frac{x^2}{2k}\right)dx+\int_k^{2k}\left(x-\frac{x^2}{2k}\right)dx$
計算並保留正參數。
$A=\frac{k^2}6+\frac{k^2}3=\frac{k^2}2=1\implies k=\sqrt2$

先思考，待同學準備好再展開提示。

2024 JM02