求 V² 在 0<x<1 的所有局部極值。

01 / 鞏固#獨立練習

V(x)=\frac\pi3x^2\sqrt{1-x^2},\quad0\le x\le1

官方試卷 · jm02-2024 · 2(a)(ii) · PDF 4

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

對多項式 V² 求導。

提示 2

檢查內部駐點兩側導數符號。

完整解答

唯一內部駐點為 √(2/3)。
$(V^2)'=\frac{2\pi^2}{9}x^3(2-3x^2)=0\implies x=\frac{\sqrt6}3$
導數由正變負；內部沒有局部極小值。
$V^2(\sqrt6/3)=\frac{\pi^2}9\left(\frac49-\frac8{27}\right)=\frac{4\pi^2}{243}$

x=√6/3 處局部極大值為 4π²/243；(0,1) 內無局部極小值。

檢查與易錯點：指定開區間時不可把端點最小值計作內部局部極小值。

推理清單・自評／教師評核

以下為自編教學評核清單；官方分值以原卷為準。
唯一內部駐點為 √(2/3)。
$(V^2)'=\frac{2\pi^2}{9}x^3(2-3x^2)=0\implies x=\frac{\sqrt6}3$
導數由正變負；內部沒有局部極小值。
$V^2(\sqrt6/3)=\frac{\pi^2}9\left(\frac49-\frac8{27}\right)=\frac{4\pi^2}{243}$

先思考，待同學準備好再展開提示。

2024 JM02