求 V² 在半徑定義域內的拐點。

01 / 鞏固#獨立練習

V(x)=\frac\pi3x^2\sqrt{1-x^2},\quad0\le x\le1

官方試卷 · jm02-2024 · 2(a)(iii) · PDF 4

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

對 V² 求兩次導數。

提示 2

須驗證兩側凹凸性改變。

完整解答

解內部二階導數方程。
$(V^2)''=\frac{2\pi^2}3x^2(2-5x^2),\quad x=\sqrt{2/5}=\frac{\sqrt{10}}5$
凹凸性由向上變向下，再求縱坐標。
$V^2(\sqrt{2/5})=\frac{\pi^2}9\left(\frac4{25}-\frac8{125}\right)=\frac{4\pi^2}{375}$

拐點為 (√10/5,4π²/375)。

檢查與易錯點：x=0 是邊界，並非此半徑定義域曲線的拐點。

推理清單・自評／教師評核

以下為自編教學評核清單；官方分值以原卷為準。
解內部二階導數方程。
$(V^2)''=\frac{2\pi^2}3x^2(2-5x^2),\quad x=\sqrt{2/5}=\frac{\sqrt{10}}5$
凹凸性由向上變向下，再求縱坐標。
$V^2(\sqrt{2/5})=\frac{\pi^2}9\left(\frac4{25}-\frac8{125}\right)=\frac{4\pi^2}{375}$

先思考，待同學準備好再展開提示。

2024 JM02