設 ω=cosα+i sinα，證明餘弦、正弦的冪表示式，並推導下列乘積恆等式。

01 / 鞏固#獨立練習

\cos n\alpha=\frac{\omega^n+\omega^{-n}}2,\quad\sin n\alpha=\frac{\omega^n-\omega^{-n}}{2i};\quad\sin^2\alpha\cos^3\alpha=\frac{2\cos\alpha-\cos3\alpha-\cos5\alpha}{16}

官方試卷 · jm02-2024 · 4(b) · PDF 6

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

對正、負整數次方使用棣美弗定理。

提示 2

展開 (ω−ω⁻¹)²(ω+ω⁻¹)³，並把互為共軛的次方配對。

完整解答

兩次方實部相同，虛部相反。
$\omega^{\pm n}=\cos n\alpha\pm i\sin n\alpha$
相加、相減即得兩個所求公式。
$\omega^n+\omega^{-n}=2\cos n\alpha,\quad\omega^n-\omega^{-n}=2i\sin n\alpha$
利用上述公式展開乘積。
$\sin^2\alpha\cos^3\alpha=-\frac1{32}(\omega^2-2+\omega^{-2})(\omega^3+3\omega+3\omega^{-1}+\omega^{-3})$
收集對稱次方並換回餘弦。
$=-\frac1{32}\big[(\omega^5+\omega^{-5})+(\omega^3+\omega^{-3})-2(\omega+\omega^{-1})\big]=\frac{2\cos\alpha-\cos3\alpha-\cos5\alpha}{16}$

兩個冪公式及乘積恆等式均得證。

檢查與易錯點：一次方對稱配對為 ω+ω⁻¹，才能換成 2cosα。

推理清單・自評／教師評核

以下為自編教學評核清單；官方分值以原卷為準。
兩次方實部相同，虛部相反。
$\omega^{\pm n}=\cos n\alpha\pm i\sin n\alpha$
相加、相減即得兩個所求公式。
$\omega^n+\omega^{-n}=2\cos n\alpha,\quad\omega^n-\omega^{-n}=2i\sin n\alpha$
利用上述公式展開乘積。
$\sin^2\alpha\cos^3\alpha=-\frac1{32}(\omega^2-2+\omega^{-2})(\omega^3+3\omega+3\omega^{-1}+\omega^{-3})$
收集對稱次方並換回餘弦。
$=-\frac1{32}\big[(\omega^5+\omega^{-5})+(\omega^3+\omega^{-3})-2(\omega+\omega^{-1})\big]=\frac{2\cos\alpha-\cos3\alpha-\cos5\alpha}{16}$

先思考，待同學準備好再展開提示。

2024 JM02