2023 JM02

1. 中點 F 給出 EF=BF=√2。

   $$EF=BC/2=\sqrt2$$

2. 正三角形 DBC 中 DF 為高。

   $$DF^2=DB^2-BF^2=8-2=6$$

3. 在 F 使用餘弦定理。

   $$\cos\angle DFE=\frac{DF^2+EF^2-DE^2}{2DF\,EF}=\frac{6+2-5}{2\sqrt6\sqrt2}=\frac{\sqrt3}4$$

cos∠DFE=√3/4。

檢查與易錯點：餘弦公式使用 F 處角，其對邊為 DE。

1. 由 (a) 計算長度平方。

   $$FG=EF\cos\angle DFE=\sqrt6/4,\quad EG^2=2-6/16=13/8$$

2. DF⊥BC，故 BFG 在 F 處直角；EB²=4。

   $$BG^2=BF^2+FG^2=2+6/16=19/8,\quad EG^2+BG^2=4=EB^2$$

3. 故 EG⊥GB；又由垂足定義 EG⊥DF。GB、DF 是底面內相交直線，因此 EG 垂直底面。

EG 垂直面 ABCD。

檢查與易錯點：須驗證底面內兩條相交直線，不能只證 DF。

1. 角 ADG=π/3+π/6=π/2。

   $$DG=\sqrt6-\sqrt6/4=3\sqrt6/4,\quad AG^2=AD^2+DG^2=8+54/16=91/8$$

2. 在直角三角形 AGE 計算。

   $$AE^2=AG^2+EG^2=91/8+13/8=13\implies AE=\sqrt{13}$$

AE=√13。

檢查與易錯點：使用垂直高度 EG；EF 是斜線段。

1. 使用冪函數求導法。

   $$f'(x)=3x^2-12$$

2. 常數 −12 的導數為零。

   $$f''(x)=6x$$

f′=3x²−12、f″=6x。

檢查與易錯點：原常數項 6 在求導後消失。

1. 分解導數，其符號依次為 +、−、+。

   $$f'(x)=3(x-2)(x+2)$$

2. 計算兩個駐點函數值。

   $$f(-2)=22\text{ (local maximum)},\quad f(2)=-10\text{ (local minimum)}$$

x=−2 處局部極大值 22；x=2 處局部極小值 −10。

檢查與易錯點：這是局部極值；三次函數整體無上下界。

1. 在零處凹凸性由向下變向上。

   $$x<0\implies f''<0,\quad x>0\implies f''>0$$

2. 求縱坐標。

   $$f(0)=6\implies(0,6)$$

拐點為 (0,6)。

檢查與易錯點：拐點不一定有水平切線。

1. 在 (−∞,−2)、(2,∞) 遞增，兩者之間遞減。

   $$(-2,22),\quad(2,-10),\quad(0,6)$$

2. x<0 向下凹，x>0 向上凹，兩端依三次函數趨向無窮。

   $$x\to-\infty:f(x)\to-\infty;\quad x\to\infty:f(x)\to\infty$$

圖中標示所有所需特徵；曲線在視窗外繼續延伸。

檢查與易錯點：拐點與兩個極值點不同。

1. 求可能切點橫坐標。

   $$3x^2+6x+1=1\implies x=0,-2$$

2. 把曲線值與直線比較。

   $$x=0:\ 0\ne4;\quad x=-2:\ -8+12-2=2=-2+4$$

A=(−2,2)。

檢查與易錯點：斜率相等不代表必然與這條指定直線相切。

1. 分解兩者之差。

   $$x^3+3x^2-4=(x-1)(x+2)^2=0\implies x=-2,1$$

2. 有界區間內被積式非負。

   $$A=\int_{-2}^1(4-x^3-3x^2)\,dx=\left[4x-\frac{x^4}4-x^3\right]_{-2}^1=\frac{27}4$$

面積為 27/4。

檢查與易錯點：相切會產生重交點根，但仍可形成有界區域。

1. 代入並整理 x 的二次式。

   $$(4+9m^2)x^2+18mdx+9d^2-36=0$$

2. 首項係數為正，判別式為零恰好等價於所求條件。

   $$\Delta=144(9m^2+4-d^2)=0\iff9m^2-(k-mh)^2+4=0$$

所述條件為充要條件。

檢查與易錯點：此斜率式只適用非垂直切線，垂直情況須另處理。

1. 寫出本小題所假設的真正二次方程。

   $$(9-h^2)m^2+2hkm+4-k^2=0,\quad h^2\ne9$$

2. 讀出兩個對稱式。

   $$m_1+m_2=\frac{2hk}{h^2-9},\quad m_1m_2=\frac{k^2-4}{h^2-9}$$

根和 2hk/(h²−9)；根積 (k²−4)/(h²−9)。

檢查與易錯點：h=±3 時斜率方程不再是二次式。

1. 有限斜率情況得一圓。

   $$\frac{k^2-4}{h^2-9}=-1\implies h^2+k^2=13$$

2. 遺漏情況為 x=±3 與 y=±2 的交點；皆在同一圓上。

   $$(h,k)=(\pm3,\pm2)$$

3. 此圓每點均在橢圓外，毋須再排除。

   $$h^2/9+k^2/4\ge(h^2+k^2)/9=13/9>1$$

完整圓 x²+y²=13。

檢查與易錯點：遺漏垂直情況會錯誤刪去四個點。

1. 代入對稱式。

   $$m_1+m_2=5/2,\quad m_1m_2=3/4,\quad|m_1-m_2|=\sqrt{13}/2$$

2. 使用直線銳夾角公式。

   $$\tan\alpha=\frac{|m_1-m_2|}{|1+m_1m_2|}=\frac{2\sqrt{13}}7\implies\alpha=\arctan\frac{2\sqrt{13}}7$$

α=arctan(2√13/7)。

檢查與易錯點：使用比值絕對值，求無方向直線之間的夾角。

1. 分開兩方程。

   $$4y=16\implies y=4,\quad\sqrt{x^2+16}=2x-1\ge0\implies x\ge1/2$$

2. 平方並分解。

   $$x^2+16=(2x-1)^2\iff(x-3)(3x+5)=0$$

3. 只有 x=3 符合未平方方程。

   $$z=3+4i,\quad|z|=5$$

z=3+4i。

檢查與易錯點：平方引入的 x=−5/3 是增根。

1. 把展開式與 cis(3θ) 比較。

   $$\cos3\theta+i\sin3\theta=(\cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta)+i(3\cos^2\theta\sin\theta-\sin^3\theta)$$

2. 故各部分給出相應公式。

   $$\cos3\theta=\cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta,\quad\sin3\theta=3\cos^2\theta\sin\theta-\sin^3\theta$$

3. cosθ≠0、cos3θ≠0 時，分子分母除以 cos³θ。

   $$\tan3\theta=\frac{3\tan\theta-\tan^3\theta}{1-3\tan^2\theta}$$

正弦、餘弦恆等式對所有 θ 成立；正切式須分母有定義。

檢查與易錯點：1−3tan²θ=0 時不可套用正切分式。

1. 潛在分母零點 x=±1/√3 都不是原三次式的根，因此可相除。

   $$\frac{3x-x^3}{1-3x^2}=\sqrt3\iff\tan3\theta=\sqrt3$$

2. 求解並限制 θ 在所選區間。

   $$\theta=\pi/9+n\pi/3\implies\theta=-2\pi/9,\pi/9,4\pi/9$$

3. 換回全部三個實根。

   $$x=\tan(-2\pi/9),\ \tan(\pi/9),\ \tan(4\pi/9)$$

tan(−2π/9)、tan(π/9)、tan(4π/9)。

檢查與易錯點：只取 √3 的主反正切會遺漏兩個三次方程根。

1. 正弦式中 sin u cos v 項互消。

   $$\sin(u+v)-\sin(u-v)=2\cos u\sin v$$

2. 餘弦式中 cos u cos v 項互消，再代回 u、v。

   $$\cos(u+v)-\cos(u-v)=-2\sin u\sin v$$

由和角公式相減，兩恆等式均得證。

檢查與易錯點：餘弦差化積公式前有負號。

1. 沿化簡後首行展開。

   $$D=\begin{vmatrix}\sin4\theta-\sin2\theta&\sin8\theta-\sin2\theta\\\cos4\theta-\cos2\theta&\cos8\theta-\cos2\theta\end{vmatrix}$$

2. 從各列提出共同正弦因子。

   $$D=4\sin\theta\sin3\theta\begin{vmatrix}\cos3\theta&\cos5\theta\\-\sin3\theta&-\sin5\theta\end{vmatrix}$$

3. 餘下行列式為 −sin(5θ−3θ)。

   $$D=-4\sin\theta\sin3\theta\sin2\theta$$

D=−4sinθ sin2θ sin3θ。

檢查與易錯點：列相減不改變行列式；交換列才會變號。

1. 求候選角。

   $$\sin\theta\sin2\theta\sin3\theta=0\implies\theta=0,\pi/3,\pi/2$$

2. 0、π/2 時第二式成為 0=√3，均不可能。

3. π/3 時餘弦方程相依；其餘兩式得 y=2、x+z=4。

   $$x+y+z=6,\quad x-y+z=2\implies(x,y,z)=(4-t,2,t),\quad t\in\mathbb R$$

θ=π/3；(x,y,z)=(4−t,2,t)，t∈ℝ。

檢查與易錯點：行列式為零只是必要條件，仍須檢查相容。