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學習・解釋・訂正

使用棣美弗定理推導正弦、餘弦及正切三倍角公式。

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

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專題 01

2023 JM02

1−3tan²θ=0 時不可套用正切分式。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 鞏固#獨立練習

使用棣美弗定理推導正弦、餘弦及正切三倍角公式。

官方試卷 · jm02-2023 · 4(b)(i) · PDF 6

官方原卷及參考答案 ↗ · 參考答案 PDF 頁 10

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

展開 (cosθ+i sinθ)³。

提示 2

比較實部、虛部，再在有定義處相除。

完整解答

把展開式與 cis(3θ) 比較。
$\cos3\theta+i\sin3\theta=(\cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta)+i(3\cos^2\theta\sin\theta-\sin^3\theta)$
故各部分給出相應公式。
$\cos3\theta=\cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta,\quad\sin3\theta=3\cos^2\theta\sin\theta-\sin^3\theta$
cosθ≠0、cos3θ≠0 時，分子分母除以 cos³θ。
$\tan3\theta=\frac{3\tan\theta-\tan^3\theta}{1-3\tan^2\theta}$

正弦、餘弦恆等式對所有 θ 成立；正切式須分母有定義。

檢查與易錯點：1−3tan²θ=0 時不可套用正切分式。

推理清單・自評／教師評核

以下為自編教學評核清單；官方分值以原卷為準。
把展開式與 cis(3θ) 比較。
$\cos3\theta+i\sin3\theta=(\cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta)+i(3\cos^2\theta\sin\theta-\sin^3\theta)$
故各部分給出相應公式。
$\cos3\theta=\cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta,\quad\sin3\theta=3\cos^2\theta\sin\theta-\sin^3\theta$
cosθ≠0、cos3θ≠0 時，分子分母除以 cos³θ。
$\tan3\theta=\frac{3\tan\theta-\tan^3\theta}{1-3\tan^2\theta}$

先思考，待同學準備好再展開提示。